Để giải và biện luận hệ phương trình

\[
\begin{cases}
x - my = 3 \quad (1) \\
mx - 4y = 4m - 2 \quad (2)
\end{cases}
\]

theo tham số \(m\), ta sẽ làm theo các bước sau:

### Bước 1: Biến đổi phương trình

Từ phương trình (1), ta có:
\[
x = my + 3 \quad (3)
\]

Thay (3) vào (2):
\[
m(my + 3) - 4y = 4m - 2
\]
\[
m^2y + 3m - 4y = 4m - 2
\]
\[
(m^2 - 4)y = 4m - 2 - 3m
\]
\[
(m^2 - 4)y = m - 2 \quad (4)
\]

### Bước 2: Xét trường hợp của m

#### Trường hợp 1: \( m^2 - 4 \neq 0 \)

Khi \( m^2 - 4 \neq 0 \) (tức là \( m \neq 2 \) và \( m \neq -2 \)):
\[
y = \frac{m - 2}{m^2 - 4}
\]
Thay giá trị của \(y\) vào (3) để tìm \(x\):
\[
x = m\left(\frac{m - 2}{m^2 - 4}\right) + 3
\]
\[
x = \frac{m(m - 2)}{m^2 - 4} + 3
\]
\[
x = \frac{m^2 - 2m + 3(m^2 - 4)}{m^2 - 4} = \frac{4m^2 - 2m - 12}{m^2 - 4}
\]

Hệ có nghiệm duy nhất.

#### Trường hợp 2: \( m^2 - 4 = 0 \)

Khi \( m = 2 \) hoặc \( m = -2 \):

- **Trường hợp \( m = 2 \):**
\[
\begin{cases}
x - 2y = 3 \\
2x - 4y = 6 - 2 \Rightarrow 2x - 4y = 4 \\
\end{cases}
\]
Phương trình thứ hai là bội số của phương trình thứ nhất, do đó hệ có vô số nghiệm.

- **Trường hợp \( m = -2 \):**
\[
\begin{cases}
x + 2y = 3 \\
-2x - 4y = -8 \Rightarrow 2x + 4y = 8
\end{cases}
\]
Tương tự, phương trình thứ hai là bội số của phương trình đầu tiên, do đó hệ cũng có vô số nghiệm.

### Kết luận:

1. Nếu \( m \neq 2 \) và \( m \neq -2 \), hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
2. Nếu \( m = 2 \) hoặc \( m = -2 \), hệ phương trình có vô số nghiệm.