Để giải bài toán này, ta sẽ làm từng phần một.

### a) Chứng minh AMCK là hình thoi.

1. **Xác định các điểm:**
- Gọi \( I \) là trung điểm của \( AC \) => \( AI = IC \).
- \( K \) được xác định trên tia đối của tia \( IM \) sao cho \( IK = IM \).

2. **Chứng minh rằng bốn điểm \( A, M, C, K \) nằm trên một hình thoi:**
- Ta có \( AI = IC \) nên \( I \) chia đoạn \( AC \) thành hai đoạn bằng nhau.
- Vì \( AM \) là đường trung tuyến, \( M \) là trung điểm của đoạn \( BC \).
- Xét tam giác \( AIC \), vì \( I \) là trung điểm nên \( I \) sẽ tạo ra các đường cao từ \( A \) và \( C \) về \( IM \).

3. **Chứng minh hai cặp cạnh đối của tứ giác \( AMCK \) bằng nhau:**
- Ta có \( AM = MK \) (do \( K \) nằm đối xứng với \( M \) qua \( I \)).
- Ta cũng có \( AK = CM \) (do \( AC \perp AM \)).
- Vậy \( AMCK \) là hình thoi khi mà \( AM = CK \) và \( AK = MC \).

### b) Chứng minh AKMB là hình bình hành.

1. **Chứng minh rằng hai cặp cạnh đối của tứ giác \( AKMB \) bằng nhau:**
- Ta có \( AK \parallel MB \) vì chúng nằm trên các đường thẳng song song với nhau.
- Hơn nữa, \( AM = MB \) (vì \( M \) là trung điểm của \( BC \)).
- \( AK = MB \) (do hình thoi, đã chứng minh ở phần a).

2. **Sử dụng định nghĩa hình bình hành:**
- Ta biết rằng nếu một tứ giác có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau thì nó là hình bình hành.
- Vậy \( AKMB \) là hình bình hành.

### Kết luận
- Qua các bước chứng minh trên, ta có \( AMCK \) là hình thoi và \( AKMB \) là hình bình hành.