Cho a; b >0 thỏa a + b < 4, tìm min của p = 2/a^2+b^2 + 35/ab

Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm \( p = \frac{2}{a^2 + b^2} + \frac{35}{ab} \) với điều kiện \( a + b < 4 \) và \( a, b > 0 \), ta có thể sử dụng một số phương pháp tối ưu hóa.

### Bước 1: Giới hạn điều kiện
Chúng ta có điều kiện \( a + b < 4 \). Đặt \( S = a + b \). Theo định lý bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:
\[
(a + b)^2 \leq 2(a^2 + b^2).
\]
Từ đó, ta có:
\[
2(a^2 + b^2) \geq S^2 \implies a^2 + b^2 \geq \frac{S^2}{2}.
\]

### Bước 2: Tính toán p
Thay vào biểu thức của \( p \):
\[
p = \frac{2}{a^2 + b^2} + \frac{35}{ab}.
\]
Mình sẽ thay \( a = x \) và \( b = 4 - x \) với \( 0 < x < 4 \). Sau đó, ta sẽ tính \( ab \) và \( a^2 + b^2 \):
\[
ab = x(4 - x) = 4x - x^2,
\]
\[
a^2 + b^2 = x^2 + (4 - x)^2 = x^2 + 16 - 8x + x^2 = 2x^2 - 8x + 16.
\]

Thay vào biểu thức của \( p \):
\[
p = \frac{2}{2x^2 - 8x + 16} + \frac{35}{4x - x^2}.
\]

### Bước 3: Tối ưu hóa hàm p
Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( p \), chúng ta sẽ tính đạo hàm của \( p \) theo \( x \) và thiết lập nó bằng 0 để tìm các điểm cực trị. Tuy nhiên, việc tính toán đạo hàm khá phức tạp, nên đôi khi ta có thể sử dụng phương pháp khác như:

Sử dụng giá trị triệt tiêu của \( a \) và \( b \): Giả sử \( a = b \) thì \( a + b = 2a < 4 \) dẫn đến \( a < 2 \). Khi đặt \( a = b = x \):
\[
p = \frac{2}{2x^2} + \frac{35}{x^2} = \frac{1}{x^2} + \frac{35}{x^2} = \frac{36}{x^2}.
\]

### Bước 4: Tìm cực tiểu
Tìm cực tiểu giá trị \( p \):
Giá trị này sẽ đạt cực tiểu khi \( x \) lớn nhất có thể, tức là:
\[
x < 2 \implies \lim_{x \to 2} p = \frac{36}{2^2} = 9.
\]

### Kết luận
Giá trị tối thiểu của \( p \) khi \( a + b < 4 \) và \( a, b > 0 \) là \( p \geq 9 \). Do đó, giá trị nhỏ nhất của \( p \) là 9 khi \( a \) và \( b \) tiến gần 2 (nghĩa là \( a \to 2, b \to 2 \)).