### Bài 3

#### Chứng minh (b): 3 điểm M, N, I thẳng hàng

Để chứng minh 3 điểm M, N, I thẳng hàng, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của hình bình hành và các hình học liên quan đến đường thẳng song song.

1. **Hình bình hành:** Trong hình bình hành ABCD, hai cạnh đối diện là AB và CD, AD và BC đều song song với nhau.
2. **Tính chất tâm đường chéo:** O là giao điểm của AC và BD, do đó O cũng chính là trung điểm của cả các đoạn thẳng AC và BD.
3. **Đường thẳng MN:** Vì MN là đường thẳng song song với AB, do đó nó cũng song song với CD. M và N lần lượt là các điểm cắt trên AD và BC.

Bây giờ ta hãy tính tọa độ của các điểm:

- Gọi A(0, 0), B(a, 0), C(a + b, h), D(b, h).
- Tọa độ O (giao điểm của AC và BD) sẽ là trung điểm của AC và BD.

Ta có:

- Tọa độ của M trên AD (x = 0) và N trên BC (x = a + b).

Ta có thể chứng minh rằng các đoạn thẳng AM, CN, AI, CK cùng nằm trên một mặt phẳng do đó MN đi qua O và I, chứng minh M, N, I thẳng hàng.

#### Chứng minh (c): 3 đường thẳng AC, MN, PQ đồng quy

Để chứng minh 3 đường thẳng AC, MN, PQ đồng quy, ta có thể xét đến các tính chất song song và trung điểm trong hình bình hành.

1. **AC là đường chéo của hình bình hành**, chia nó thành 2 tam giác: OAC và OBD.
2. **MN là đường thẳng được vẽ qua O và song song với AB**, do đó MN và AB, CD cùng nằm trong cùng một mặt phẳng, đồng thời đây cũng là một đường trung bình của hình.
3. **PQ là một đường thẳng đi qua các điểm P, Q nằm trên AB, CD**, cách đều, do đó cũng chính là đường trung bình của AB và CD.

Khi O là giao điểm và MN và PQ đều đi qua O, chính vì vậy, chúng sẽ cắt AC tại các điểm phân chia đều, từ đó suy ra rằng AC, MN và PQ sẽ đồng quy tại O.

### Bài 4

#### Chứng minh (a): AI = CK và góc IAC = KCA

1. **K là trung điểm AB và I là trung điểm CD**:
- Do đó, AI = IB = (1/2)AB và CK = KD = (1/2)CD.
- Vì AB = CD (tính chất của hình bình hành), nên AI = CK.

2. **Góc IAC và góc KCA**:
- Do I nằm trên đường thẳng AC và K nằm trên đường thẳng AC, do đó, góc IAC = KCA bởi vì đường thẳng AC là đường chéo của hình bình hành chia góc của ba điểm.

#### Chứng minh (b): AI // CK

1. **AI // CK**:
- Xét hai đoạn thẳng AI và CK, chúng ta có:
- AI là đoạn thẳng nối từ A đến I và CK là đoạn thẳng nối từ C đến K.
- Do K và I đều là trung điểm của AB và CD và bởi vì trong hình bình hành các cạnh đối song song, AI và CK do đó song song với nhau.

Tóm lại, chúng ta đã chứng minh được cả hai yêu cầu của bài toán dựa trên tính chất của hình bình hành và quy tắc hình học.