Chúng ta sẽ chứng minh rằng \( Q \) chia hết cho 5 với mọi số nguyên \( n \).

Đầu tiên, chúng ta viết lại biểu thức \( Q \):

\[
Q = (2n - 1)(2n + 3) - (4n - 5)(n + 1) + 3
\]

Ta bắt đầu phân tích các thành phần trong \( Q \):

1. **Tính \( (2n - 1)(2n + 3) \)**:

\[
(2n - 1)(2n + 3) = 4n^2 + 6n - 2n - 3 = 4n^2 + 4n - 3
\]

2. **Tính \( (4n - 5)(n + 1) \)**:

\[
(4n - 5)(n + 1) = 4n^2 + 4n - 5n - 5 = 4n^2 - n - 5
\]

Giờ đây thay thế vào biểu thức \( Q \):

\[
Q = (4n^2 + 4n - 3) - (4n^2 - n - 5) + 3
\]

3. **Rút gọn \( Q \)**:

Khi ta thực hiện phép trừ, các phần \( 4n^2 \) sẽ triệt tiêu nhau:

\[
Q = 4n + 3 + n + 5 + 3 = 5n + 11
\]

4. **Tiếp tục rút gọn**:

Từ đây ta có:

\[
Q = 5n + 11
\]

5. **Chứng minh chia hết cho 5**:

Ta có \( Q = 5n + 11 \). Để kiểm tra tính chia hết cho 5, chúng ta thấy rằng \( 5n \) chắc chắn chia hết cho 5. Do đó, nhiệm vụ bây giờ là chỉ ra rằng \( 11 \) cũng có thể được viết dưới dạng số chia hết cho 5 cộng thêm một phần có chia hết cho 5.

Phân tích \( 11 \) theo mô-đun 5:

\[
11 \mod 5 = 1
\]

Vậy, \( Q = 5n + 11 \equiv 1 \mod 5 \), điều này có nghĩa \( Q \) thực sự không chia hết cho 5. Duy nhất \( 5n \) là phần chia hết.

Tóm lại, \( Q \) không chia hết cho 5 với mọi n (đặc biệt là khi \( n = 0 \)). Kết quả của chúng ta là \( Q\) không nhất thiết phải chia hết cho \( 5 \).

Tuy nhiên, nếu câu hỏi là chứng minh phần \( 5n + 11 \) có cấu trúc hợp lệ, bạn có thể kết luận rằng bất kỳ giá trị nào khi thẩm tra \( n \) như vậy trong một khoảng sẽ cho ra kết quả áp dụng cho \( 5n + 11 \).