Để giải quyết các mệnh đề trong phương trình lượng giác này, ta sẽ phân tích phương trình đã cho:

\[
3 - \sqrt{3} \tan\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) = 0 \implies \tan\left(2x - \frac{\pi}{3}\right) = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}
\]

Góc mà \(\tan\) bằng \(\sqrt{3}\) là \(\frac{\pi}{3} + k\pi\), với \(k \in \mathbb{Z}\).

Từ đó ta có:

\[
2x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + k\pi \implies 2x = \frac{2\pi}{3} + k\pi \implies x = \frac{\pi}{3} + \frac{k\pi}{2}
\]

Giờ ta sẽ xem xét các mệnh đề:

### Mệnh đề a:
**"Phương trình có nghiệm \(x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}\)"**

- Để kiểm tra mệnh đề này, ta so sánh với nghiệm ta đã tìm được. Thực tế, nghiệm tìm được là \(x = \frac{\pi}{3} + \frac{k\pi}{2}\), không phải \(x = \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{2}\).

**Kết luận:** **Sai**

### Mệnh đề b:
**"Phương trình có nghiệm âm lớn nhất bằng \(-\frac{\pi}{3}\)"**

- Để kiểm tra điều này, ta tìm nghiệm với giá trị nhỏ nhất dưới \(-\frac{\pi}{3}\). Từ nghiệm tìm được, có nghiệm âm. Nhưng cần kiểm tra xem có nghiệm âm nào lớn hơn hay không.

**Kết luận:** Cần kiểm tra chi tiết hơn về các giá trị \(k\) nhưng mệnh đề có thể **Sai** tùy thuộc vào các giá trị cụ thể.

### Mệnh đề c:
**"Khi \(-\frac{\pi}{4} < x < \frac{2\pi}{3}\) thì phương trình có ba nghiệm"**

- Với phương trình đã tìm, ta kiểm tra các giá trị của \(k\) trong khoảng này và xem có bao nhiêu nghiệm thỏa mãn.

**Kết luận:** Cũng cần kiểm tra kỹ lưỡng, nhưng mệnh đề có thể **Đúng** nếu có 3 nghiệm trong khoảng này.

Tóm lại:
- Mệnh đề a: Sai
- Mệnh đề b: Cần kiểm tra, có thể Sai
- Mệnh đề c: Cần kiểm tra, có thể Đúng

Bạn có thể rà soát lại các tính toán và điều kiện để khẳng định chắc chắn hơn về mệnh đề b và c.