Để tìm chữ số \( x \) trong các bất phương trình sau, ta sẽ giải từng phần một.

### a) Giải bất phương trình:
\[ 534 + 1266 < \overline{x80x} < 635 + 1167 \]

1. **Tính toán các giới hạn:**
- Bên trái:
\[
534 + 1266 = 1800
\]
- Bên phải:
\[
635 + 1167 = 1802
\]

Vậy bất phương trình trở thành:
\[ 1800 < \overline{x80x} < 1802 \]

2. **Xác định giá trị của \(\overline{x80x}\)**:
- \(\overline{x80x} = 1000x + 800 + x = 1001x + 800\)

Thay vào bất phương trình:
\[ 1800 < 1001x + 800 < 1802 \]

3. **Giải từng phần:**

- **Giới hạn bên trái:**
\[
1001x + 800 > 1800 \Rightarrow 1001x > 1000 \Rightarrow x > \frac{1000}{1001} \approx 0.999 \quad (\text{do } x \text{ là chữ số, } x \geq 1)
\]

- **Giới hạn bên phải:**
\[
1001x + 800 < 1802 \Rightarrow 1001x < 1002 \Rightarrow x < \frac{1002}{1001} \approx 1.001 \quad (\text{do } x \text{ là chữ số, } x \leq 1)
\]

**Kết luận:**
Vậy \( x = 1 \).

### b) Giải bất phương trình:
\[ 197 < \overline{xx} + \overline{xx} < 199 \]

1. **Xác định giá trị của \(\overline{xx}\):**
- \(\overline{xx} = 10x + x = 11x\)

Thay vào bất phương trình:
\[ 197 < 11x + 11x < 199 \]
\[ 197 < 22x < 199 \]

2. **Giải từng phần:**

- **Giới hạn bên trái:**
\[
22x > 197 \Rightarrow x > \frac{197}{22} \approx 8.9545 \quad (\text{do } x \text{ là chữ số, } x \geq 9)
\]

- **Giới hạn bên phải:**
\[
22x < 199 \Rightarrow x < \frac{199}{22} \approx 9.0454 \quad (\text{do } x \text{ là chữ số, } x \leq 9)
\]

**Kết luận:**
Vậy \( x = 9 \).

### Kết quả cuối cùng:
- \( x \) trong phần a) là \( 1 \)
- \( x \) trong phần b) là \( 9 \)