Gọi cấp số nhân cần tìm có 4 số hạng là \( a, ar, ar^2, ar^3 \), trong đó \( a \) là số hạng đầu tiên và \( r \) là công bội.

Theo đề bài, ta có các điều kiện sau:
1. Tổng số hạng đầu và cuối: \( a + ar^3 = 27 \)
2. Tích số hạng giữa (số hạng thứ hai và thứ ba): \( ar \cdot ar^2 = a^2 r^3 = 72 \)

Từ điều kiện thứ nhất, ta có:
\[
a(1 + r^3) = 27 \quad (1)
\]

Từ điều kiện thứ hai, ta có:
\[
a^2 r^3 = 72 \quad (2)
\]

Từ phương trình (1), ta có \( a = \frac{27}{1 + r^3} \). Thay \( a \) vào phương trình (2):

\[
\left(\frac{27}{1 + r^3}\right)^2 r^3 = 72
\]

Giải phương trình trên:
\[
\frac{729 r^3}{(1 + r^3)^2} = 72
\]

Nhân chéo ta được:
\[
729 r^3 = 72 (1 + r^3)^2
\]

Mở rộng vế phải:
\[
729 r^3 = 72 (1 + 2r^3 + r^6)
\]
\[
729 r^3 = 72 + 144 r^3 + 72 r^6
\]

Chuyển tất cả về một phía:
\[
72 r^6 + (144 - 729) r^3 + 72 = 0
\]
\[
72 r^6 - 585 r^3 + 72 = 0
\]

Đặt \( x = r^3 \), ta có phương trình bậc 2:
\[
72 x^2 - 585 x + 72 = 0
\]

Giải phương trình này bằng công thức nghiệm:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{585 \pm \sqrt{(-585)^2 - 4 \cdot 72 \cdot 72}}{2 \cdot 72}
\]
\[
= \frac{585 \pm \sqrt{342225 - 20736}}{144}
\]
\[
= \frac{585 \pm \sqrt{321489}}{144}
\]
\[
= \frac{585 \pm 567}{144}
\]

Tính cả hai trường hợp:
1. \( x_1 = \frac{1152}{144} = 8 \) (tương ứng với \( r^3 = 8 \Rightarrow r = 2 \))
2. \( x_2 = \frac{18}{144} = \frac{1}{8} \) (tương ứng với \( r^3 = \frac{1}{8} \Rightarrow r = \frac{1}{2} \))

Bây giờ ta tính giá trị của \( a \) cho hai giá trị \( r \).

**Trường hợp 1**: \( r = 2 \):
\[
a(1 + 2^3) = 27 \Rightarrow a(1 + 8) = 27 \Rightarrow 9a = 27 \Rightarrow a = 3
\]
Các số hạng là: \( 3, 6, 12, 24 \).

**Trường hợp 2**: \( r = \frac{1}{2} \):
\[
a(1 + (\frac{1}{2})^3) = 27 \Rightarrow a(1 + \frac{1}{8}) = 27 \Rightarrow a\left(\frac{9}{8}\right) = 27 \Rightarrow a = \frac{27 \times 8}{9} = 24
\]
Các số hạng là: \( 24, 12, 6, 3 \).

Vậy cấp số nhân cần tìm có thể là: \( (3, 6, 12, 24) \) hoặc \( (24, 12, 6, 3) \).