Cho tam giác ABC vuông tại A có AC>AB, đường cao AH.Gọi HD và HE lần lượt vuông góc với AB và AC 

Chúng ta có tam giác vuông \( \triangle ABC \) với \( A \) là góc vuông, \( AC > AB \) và \( H \) là điểm hạ từ \( A \) xuống cạnh \( BC \) (gọi \( AH \) là đường cao).

### a) Chứng minh \( \triangle ABC \sim \triangle AED \) và \( AD \cdot AB = AE \cdot AC \)

Theo định nghĩa về các tam giác vuông, ta có:

- \( \angle AHB = 90^\circ \)
- \( \angle AED = 90^\circ \)

Với \( HD \) và \( HE \) là đường vuông góc với cạnh \( AB \) và \( AC \), thì:

- \( \angle AHB = \angle AED \) (cả 2 đều vuông)
- \( \angle BAH = \angle EAD \)

Do đó theo tiêu chí góc-góc (AA) cho tam giác, ta có:

\[
\triangle ABC \sim \triangle AED
\]

Từ đó, ta có tỉ lệ:

\[
\frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE}
\]

Vì \( AD \) là đường cao nên theo định lý về đường cao trong tam giác vuông, ta có:

\[
AD \cdot AB = AH \cdot BH (1)
\]
\[
AE \cdot AC = AH \cdot HC (2)
\]

Do đó, từ (1) và (2) ta có:

\[
AD \cdot AB = AE \cdot AC
\]

### b) Tính \( DE \) biết \( BH = 2 \, cm \) và \( HC = 4,5 \, cm \)

Để tính \( DE \), ta trước tiên tìm độ dài của \( BC \):

\[
BC = BH + HC = 2 + 4,5 = 6,5 \, cm
\]

Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác \( ABC \):

\[
AB^2 + AC^2 = BC^2
\]

Theo định lý hạt nhân của tam giác vuông, ta có thể tính độ dài \( AH \):

\[
AH = \frac{AB \cdot AC}{BC}
\]

Nhưng ta có thể sử dụng tỉ lệ giữa các đoạn thẳng trong tam giác:

Tính \( DE \) bằng tỉ lệ:

\[
\frac{DE}{BH} = \frac{AD}{AB}
\]

Biết rằng \( DE = AH \) nên:

\[
DE = AH = \sqrt{BH \cdot HC} = \sqrt{2 \cdot 4,5} = \sqrt{9} = 3 \, cm
\]

### c) Tính số đo góc \( ABC \)

Sử dụng các thông tin đã biết:

- Đặt \( AB = a \) và \( AC = b \).
- Tính tan của góc \( ABC \):

\[
\tan(ABC) = \frac{AH}{BH} = \frac{AC}{AB} \Rightarrow \tan(ABC) = \frac{b}{a}
\]

Dùng góc \( BAC \):

\[
\tan(ABC) = \frac{2}{4.5} \Rightarrow ABC = \tan^{-1} \left( \frac{2}{4.5} \right)
\]

Sau đó bạn có thể sử dụng máy tính để tìm giá trị số đo.

### d) Tính diện tích \( \triangle ADE \)

Sử dụng công thức tính diện tích:

\[
S_{\triangle ADE} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot AE
\]

Tính được \( AD \) và \( AE \) nhờ các tỉ số trong tam giác. Diện tích có thể tính nhanh bằng tỉ lệ:

\[
S_{\triangle ABC} \cdot \left( \frac{AD}{AH} \cdot \frac{AE}{AH} \right)
\]

Hoặc bằng cách sử dụng:

\[
S_{\triangle ADE} = \frac{DE}{2} \cdot AD
\]

Hy vọng các bước trên sẽ giúp ích cho bạn trong việc giải quyết bài toán.