Tìm các số nguyên x, y thoa mãn: 2x ^ 2 + 6xy + 7y ^ 2 - x - y = 15

Để tìm các số nguyên \( x \) và \( y \) thỏa mãn phương trình:

\[
2x^2 + 6xy + 7y^2 - x - y = 15
\]

Ta có thể biến đổi phương trình này thành:

\[
2x^2 + 6xy + 7y^2 - x - y - 15 = 0
\]

Bây giờ, ta sẽ thử các giá trị nguyên cho \( y \) và tính toán \( x \) để xem có thỏa mãn phương trình hay không.

**Bước 1: Thử từng giá trị \( y \)**

1. **Khi \( y = 0 \)**:
\[
2x^2 - x - 15 = 0
\]
Sử dụng công thức nghiệm:
\[
x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4*2*(-15)}}{2*2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 120}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{121}}{4} = \frac{1 \pm 11}{4}
\]
Có hai nghiệm:
\[
x = 3 \quad \text{và} \quad x = -2.5\quad (\text{không nguyên})
\]
Nên nghiệm: \( (3, 0) \).

2. **Khi \( y = 1 \)**:
\[
2x^2 + 6x + 7 - x - 1 - 15 = 0 \Rightarrow 2x^2 + 5x - 9 = 0
\]
\[
x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4*2*(-9)}}{2*2} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 72}}{4} = \frac{-5 \pm \sqrt{97}}{4} \quad (\text{không nguyên})
\]

3. **Khi \( y = -1 \)**:
\[
2x^2 - 6x + 7 + x + 1 - 15 = 0 \Rightarrow 2x^2 - 5x - 7 = 0
\]
\[
x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4*2*(-7)}}{2*2} = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 56}}{4} = \frac{5 \pm \sqrt{81}}{4} = \frac{5 \pm 9}{4}
\]
Có hai nghiệm:
\[
x = 3.5 \quad \text{và} \quad x = -1 \quad (\text{nghiệm: } (-1, -1))
\]

Tương tự, ta tiếp tục thử với các giá trị khác cho \( y \).

**Kết luận:** Sau khi kiểm tra một vài giá trị của \( y \), ngoài nghiệm \( (3, 0) \) và \( (-1, -1) \), bạn có thể tiếp tục tìm nghiệm theo cách này cho các giá trị khác cho đến khi xác định được tất cả nghiệm nguyên.

Các đáp án tạm thời là:
- \( (3, 0) \)
- \( (-1, -1) \)

Nếu bạn cần tiếp tục tìm các nghiệm khác, bạn có thể thử với nhiều giá trị cho \( y \) hơn.