Để chứng minh các phần (a), (b), và (c) của bài toán, ta sẽ làm từng phần một.

### Phần (a): Chứng minh ABFE là hình bình hành

Cho hình bình hành ABCD và CDEF:
- Ta biết rằng trong hình bình hành, các cạnh đối diện vừa song song vừa bằng nhau.

Để chứng minh ABFE là hình bình hành, ta phải chứng minh hai cạnh đối diện AB và EF, cùng hai cạnh đối diện AF và BE là bằng nhau và song song.

1. Ta có \( AB \parallel CD \) và \( EF \parallel CD \) (bởi vì ABCD và CDEF là hình bình hành).
2. Do đó, \( AB \parallel EF \).
3. Tiếp theo, từ hình bình hành CDEF, có \( CD = EF \).
4. Bởi sự đồng nhất của các cạnh trong hình bình hành, ta cũng có:
\[ AF = CD = BE \]
5. Vậy ta có \( AB = EF \) và \( AF = BE \), đồng thời hai cặp cạnh song song:
- \( AB \parallel EF \)
- \( AF \parallel BE \)

Kết luận:
- Theo định nghĩa về hình bình hành, ta có thể khẳng định rằng ABFE là một hình bình hành.

### Phần (b): Chứng minh AM // BN

1. Gọi M là trung điểm của DE và N là trung điểm của CF.
2. Vì DE và CF là các cạnh của hai hình bình hành CDEF và ABCD, nên \( DE \parallel CF \).
3. Do M và N là các trung điểm của mỗi đoạn thẳng, nên:

\[
AM = \frac{1}{2}AD \quad \text{và} \quad BN = \frac{1}{2}BC
\]

4. Ta có \( AD \parallel BC \) (bởi vì ABCD là hình bình hành), do đó \( AM \parallel BN \).

Kết luận:
- Vậy \( AM \parallel BN \).

### Phần (c): Chứng minh H là trọng tâm của tam giác BCF

1. Gọi G là trọng tâm của tam giác ADE. Mỗi cạnh của tam giác ADE chia thành ba phần bằng nhau vì G là trọng tâm.
2. Hình bình hành ABHG cũng có các cạnh đối diện bằng nhau và song song, từ đó, ta có:
\[
AG = GD \quad \text{và} \quad BH = HG
\]

Chúng ta khẳng định rằng để H là trọng tâm của tam giác BCF:
- Ta cần chứng minh rằng H chia BCF thành hai đoạn thẳng có tỷ lệ 2:1.

3. Do G là trọng tâm của ADE, trên đoạn AG, H sẽ chia đoạn BH sao cho \( BH = HG \).
4. Từ sự đồng nhất và các tỷ lệ trong các tam giác, có thể viết rằng:
\[
BH : HF = 2 : 1
\]
hay \( BH = 2HF \).

Kết luận:
- Như vậy H là trọng tâm của tam giác BCF.

Tổng kết, từ các lập luận trên, chúng ta đã chứng minh thành công ba phần của bài toán.