Để phân tích thành nhân tử biểu thức \( 5x^2 + 10x + 55x^2 + 10x + 5 \), trước tiên ta sẽ nhóm các hạng tử lại với nhau:

\[
5x^2 + 55x^2 + 10x + 10x + 5 = (5x^2 + 55x^2) + (10x + 10x) + 5
\]

Kết hợp các hạng tử tương tự, ta có:

\[
(5 + 55)x^2 + (10 + 10)x + 5 = 60x^2 + 20x + 5
\]

Bây giờ, chúng ta có biểu thức mới là \( 60x^2 + 20x + 5 \). Tiếp theo, ta sẽ tìm nhân tử chung. Tất cả các hạng tử đều có thể chia cho 5, do đó ta có thể phân tích như sau:

\[
60x^2 + 20x + 5 = 5(12x^2 + 4x + 1)
\]

Tiếp theo, chúng ta cần phân tích biểu thức \( 12x^2 + 4x + 1 \). Để phân tích, chúng ta có thể tìm nghiệm của nó thông qua phương trình bậc hai \( ax^2 + bx + c = 0 \), với \( a = 12 \), \( b = 4 \), và \( c = 1 \):

Sử dụng công thức nghiệm:

\[
D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 12 \cdot 1 = 16 - 48 = -32
\]

Vì \( D < 0 \), phương trình này không có nghiệm thực, do đó \( 12x^2 + 4x + 1 \) không thể phân tích thành nhân tử với hệ số thực.

Kết quả cuối cùng cho biểu thức ban đầu là:

\[
5(12x^2 + 4x + 1)
\]

Và biểu thức không thể phân tích hơn nữa với hệ số thực.