Chứng minh rằng: Hình bình hành có 2 góc kề bằng nhau là hình chữ nhật? Hình thang cân có 2 góc đối bằng nhau là hình chữ nhật? Tứ giác ABCD có 2 đường chéo bằng nhau cắt tại O và O cách đều 4 đỉnh thì ABCD là hình chữ nhật

Để chứng minh các kết luận đã nêu, ta sẽ xem xét từng trường hợp một.

### a. Chứng minh rằng: Hình bình hành có 2 góc kề bằng nhau là hình chữ nhật.

Giả sử \( ABCD \) là hình bình hành, với 2 góc kề nhau \( \angle A \) và \( \angle B \) bằng nhau, tức là \( \angle A = \angle B \).

Trong một hình bình hành, tổng hai góc kề nhau là \( 180^\circ \) (bởi các góc kề bù). Do đó:

\[
\angle A + \angle B = 180^\circ
\]

Theo giả thiết \( \angle A = \angle B \), nên ta có:

\[
\angle A + \angle A = 180^\circ \implies 2\angle A = 180^\circ \implies \angle A = 90^\circ
\]

Tương tự, vì \( \angle A + \angle D = 180^\circ \) và \( \angle B + \angle C = 180^\circ \) trong một hình bình hành, ta có:

\[
\angle D = 90^\circ \quad \text{và} \quad \angle C = 90^\circ
\]

Vậy tất cả các góc của hình bình hành \( ABCD \) đều bằng \( 90^\circ \), điều này có nghĩa là \( ABCD \) là hình chữ nhật.

### b. Chứng minh rằng: Hình thang cân có 2 góc đối bằng nhau là hình chữ nhật.

Giả sử \( ABCD \) là hình thang cân, với \( AB \) // \( CD \) và góc đối \( \angle A \) và \( \angle C \) bằng nhau, tức là \( \angle A = \angle C \).

Trong một hình thang, tổng của 2 góc kề bất kỳ đều bằng \( 180^\circ \):

\[
\angle A + \angle D = 180^\circ
\]
\[
\angle C + \angle B = 180^\circ
\]

Biết rằng \( \angle A = \angle C \), ta cũng có:

\[
\angle A + \angle B = 180^\circ \implies \angle D + \angle C = 180^\circ \implies \angle D + \angle A = 180^\circ
\]

Lại gặp trường hợp giống nhau:

Khi \( \angle A = \angle C \) và tổng đó luôn bằng \( 180^\circ \), cho nên \( \angle A = \angle D = \angle B = \angle C \). Bởi vì ngoài tính đối xứng và bằng nhau, điều này chỉ có thể xảy ra khi mỗi góc bằng \( 90^\circ \).

Kết luận \( ABCD \) là hình chữ nhật.

### c. Chứng minh rằng: Tứ giác \( ABCD \) có 2 đường chéo bằng nhau cắt tại \( O \) và \( O \) cách đều 4 đỉnh thì \( ABCD \) là hình chữ nhật.

Giả sử \( AC \) và \( BD \) là 2 đường chéo cắt nhau tại \( O \), mà \( OA = OC \) và \( OB = OD \). Ta có:

1. \( OA = OC = x \) và \( OB = OD = y \) (vì \( O \) là trung điểm của \( AC \) và \( BD \)).
2. Mỗi đường chéo chính là 2 đoạn thẳng nối các đỉnh của tứ giác.

Khi đó, ta sẽ có:

- \( AB^2 = OA^2 + OB^2 \)
- \( BC^2 = OC^2 + OB^2 \)
- \( CD^2 = OC^2 + OD^2 \) (hoặc khi thay bằng \( OA \))
- \( DA^2 = OA^2 + OD^2 \)

Do \( OA = OC \) và \( OB = OD \), ta thay:

\[
AB^2 = x^2 + y^2
\]
\[
BC^2 = x^2 + y^2
\]
\[
CD^2 = x^2 + y^2
\]
\[
DA^2 = x^2 + y^2
\]

Từ đây suy ra \( AB = BC = CD = DA \).

Nếu các cạnh của tứ giác ABCD đều bằng nhau, mà đường chéo thì song song và bằng nhau, vậy \( ABCD \) là hình chữ nhật.

### Kết luận:
a. Hình bình hành có 2 góc kề bằng nhau là hình chữ nhật.

b. Hình thang cân có 2 góc đối bằng nhau là hình chữ nhật.

c. Tứ giác ABCD có 2 đường chéo bằng nhau cắt tại O và O cách đều 4 đỉnh là hình chữ nhật.