Cho biểu thức

Để rút gọn biểu thức \( A \) và tìm giá trị nguyên của \( x \) cho \( A \):

### a. Rút gọn biểu thức \( A \)

Biểu thức được cho là:

\[
A = \sqrt{\frac{(x^2 - 3)^2 + 12x^2}{x^2}} + \sqrt{(x + 2)^2 - 8x}
\]

**Bước 1: Rút gọn từng phần trong biểu thức**

1. **Rút gọn phần đầu:**
\[
\frac{(x^2 - 3)^2 + 12x^2}{x^2} = \frac{x^4 - 6x^2 + 9 + 12x^2}{x^2} = \frac{x^4 + 6x^2 + 9}{x^2} = x^2 + 6 + \frac{9}{x^2}
\]

Do đó,
\[
\sqrt{\frac{(x^2 - 3)^2 + 12x^2}{x^2}} = \sqrt{x^2 + 6 + \frac{9}{x^2}}
\]

2. **Rút gọn phần thứ hai:**
\[
(x + 2)^2 - 8x = x^2 + 4x + 4 - 8x = x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2
\]

Vậy,
\[
\sqrt{(x + 2)^2 - 8x} = \sqrt{(x - 2)^2} = |x - 2|
\]

**Bước 2: Kết hợp lại**

Biểu thức \( A \) trở thành:
\[
A = \sqrt{x^2 + 6 + \frac{9}{x^2}} + |x - 2|
\]

### b. Tìm giá trị nguyên của \( x \) sao cho \( A \) cũng có giá trị nguyên

Để \( A \) là số nguyên, điều kiện quan trọng là \( \sqrt{x^2 + 6 + \frac{9}{x^2}} \) phải là số nguyên.

Gọi \( y = \sqrt{x^2 + 6 + \frac{9}{x^2}} \). Ta có:
\[
y^2 = x^2 + 6 + \frac{9}{x^2} \implies y^2 x^2 = x^4 + 6x^2 + 9
\]
\[
\implies x^4 - y^2 x^2 + 6x^2 + 9 = 0
\]
\[
\implies x^4 + (6 - y^2)x^2 + 9 = 0
\]

Giải phương trình bậc hai này sẽ cho các giá trị \( x \) tương ứng.

Ta cũng cần \( |x - 2| \) là số nguyên. Điều này xảy ra khi \( x \) là số nguyên, tức là \( x \) có thể được viết dưới dạng \( 2 + k \) với \( k \in \mathbb{Z} \).

Thực hiện tính toán cụ thể cho các giá trị nguyên (từ -10 đến 10 chẳng hạn) và kiểm tra điều kiện cho \( A \) là số nguyên.

Hoặc bạn có thể thử một số giá trị nguyên \( x \) như 1, 2, 3, 4, v.v. và kiểm tra \( A \).