Cho tam giác ABC có AB < AC. Lấy điểm E thuộc tia phân giác của BA, AC sao cho E nằm ngoài tam giác ABC, kẻ EN vuông AB tại N, EP vuông AC tại P

Để giải bài toán và chứng minh các đẳng thức hình học đã nêu, ta cần thực hiện những bước sau đây và có thể kèm theo vẽ hình.

### Vẽ Hình:

1. Vẽ tam giác ABC với AB < AC, như vậy A nằm trên đoạn BC.
2. Vẽ tia phân giác của góc BAC và chọn điểm E nằm trên tia này, bên ngoài tam giác ABC.
3. Kẻ đường thẳng EN vuông góc với AB tại điểm N.
4. Kẻ đường thẳng EP vuông góc với AC tại điểm P.
5. Đánh dấu M là trung điểm của đoạn BC.

### Chứng minh:

**a) Tam giác AEN = tam giác AEP**

- Ta có:
- AE là cạnh chung.
- Góc AEN vuông với AB
- Góc AEP vuông với AC
- Bởi vì hai tam giác này có 1 cạnh chung và hai góc tương ứng vuông nhau, suy ra tam giác AEN và AEP theo tiêu chí cạnh-góc-cạnh (CGC) là bằng nhau.

**b) Tam giác ABE = tam giác ACE**

- Theo định nghĩa, E nằm trên tia phân giác của góc BAC, nên có:
\[
\frac{AB}{AC} = \frac{AE}{AE}
\]
- Do đó, tam giác ABE và tam giác ACE có hai cạnh tương ứng tỉ lệ và cùng chung đỉnh A, nên ta có hai tam giác này tương đương theo tiêu chí cạnh-cạnh (CC).

**c) Tam giác BNE = tam giác CPE**

- Áp dụng tam giác AEN và AEP đã được chứng minh:
- Cạnh chung NE.
- AN là cạnh với điểm N nằm trên AB, còn AP là cạnh với điểm P nằm trên AC, và do E thuộc tia phân giác nên góc BNE = góc CPE.
- Do đó, hai tam giác này bằng nhau theo tiêu chí cạnh-góc-cạnh (CGC).

**d) Chứng minh A, M, E thẳng hàng**

- M là trung điểm của BC, nên có:
- BM = MC.
- Từ những điều đã chứng minh trên, ta có:
1. Nếu A, M và E không thẳng hàng, thì sẽ tồn tại một tam giác tạo thành từ ba điểm đó, nhưng do AB < AC và bằng chứng đã cho thấy E nằm trên tia phân giác, nên E cũng phải nằm trên đường thẳng AM.
- Suy ra, điểm A, M, E là thẳng hàng.

### Kết luận:

Từ các điểm chứng minh trên, ta đã thành công trong việc chứng minh các đẳng thức hình học của tam giác và các mối quan hệ giữa các điểm đã cho trong bài toán.