Để tìm tất cả các số tự nhiên \( n \) mà biểu thức \( 9n^2 + 3n + 4 \) là số chính phương, chúng ta có thể đặt:

\[
9n^2 + 3n + 4 = k^2 \quad (1)
\]

với \( k \) là một số tự nhiên.

Rearranging (1), ta có:

\[
9n^2 + 3n + (4 - k^2) = 0
\]

Biểu thức này là một phương trình bậc hai với biến \( n \). Để phương trình có nghiệm thực, delta \( \Delta \) phải không âm:

\[
\Delta = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 9 \cdot (4 - k^2) = 9 - 36(4 - k^2)
\]
\[
= 9 - 144 + 36k^2 = 36k^2 - 135
\]

Để \( \Delta \geq 0 \), ta có:

\[
36k^2 - 135 \geq 0
\]
\[
36k^2 \geq 135
\]
\[
k^2 \geq \frac{135}{36} = \frac{15}{4} \implies k \geq 4
\]

Tiếp theo, nghiệm của phương trình bậc hai được tính bằng công thức:

\[
n = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-3 \pm \sqrt{36k^2 - 135}}{18}
\]

Vậy để \( n \) là số tự nhiên, \( 3 \pm \sqrt{36k^2 - 135} \) phải là bội của 18, tức là \( \sqrt{36k^2 - 135} \) cũng phải là bội của 18.

Giả sử

\[
\sqrt{36k^2 - 135} = m \implies 36k^2 - 135 = m^2
\]

Hay

\[
36k^2 - m^2 = 135 \implies (6k - m)(6k + m) = 135
\]

Giờ chúng ta phân tích 135 thành các cặp số nguyên dương:

\[
1 \times 135, \quad 3 \times 45, \quad 5 \times 27, \quad 9 \times 15
\]

Với mỗi cặp, chúng ta sẽ giải cho \( k \) và \( m \) và kiểm tra \( k \) có phải số tự nhiên không.

1. Với \( (1, 135) \):
\[
6k - m = 1, \quad 6k + m = 135
\]
Giải được \( k = 11, \, m = 65 \)

2. Với \( (3, 45) \):
\[
6k - m = 3, \quad 6k + m = 45
\]
Giải được \( k = 8, \, m = 21 \)

3. Với \( (5, 27) \):
\[
6k - m = 5, \quad 6k + m = 27
\]
Giải được \( k = 6, \, m = 11 \)

4. Với \( (9, 15) \):
\[
6k - m = 9, \quad 6k + m = 15
\]
Giải được \( k = 4, \, m = 3 \)

Tiếp theo, ta tính giá trị của \( n \) tương ứng với các giá trị \( k \):

1. Với \( k = 11 \):
\[
n = \frac{-3 + 65}{18} = \frac{62}{18} = 3.44 \quad (\text{không phải là số tự nhiên})
\]

2. Với \( k = 8 \):
\[
n = \frac{-3 + 21}{18} = 1
\]

3. Với \( k = 6 \):
\[
n = \frac{-3 + 11}{18} = \frac{8}{18} = 0.44 \quad (\text{không phải là số tự nhiên})
\]

4. Với \( k = 4 \):
\[
n = \frac{-3 + 3}{18} = 0 \quad (\text{số tự nhiên, nhưng không được tính vì \( n \) phải dương})
\]

Kết luận, số tự nhiên duy nhất thỏa mãn là:

\[
\boxed{1}
\]