Dưới đây là hướng dẫn thực hiện các phép tính trong bài:

### Bài 1: Thực hiện phép tính
a) \( (5^{1}+7^{1})^{2} = (5^{1})^{2} + (7^{1})^{2} \)
\[
= 5^2 + 7^2 = 25 + 49 = 74
\]

b) \( S = 2 + 2^{2} + 2^{3} + ... + 2^{n} \)
- Công thức tổng \( S = 2 \times (1 + 2 + 2^2 + ... + 2^{n-1}) = 2(2^{n}-1) = 2^{n+1} - 2 \)

c) \( 2^{100} \times (1 + 2 + 2^2 + ... + 2^{n}) \)
- Tổng trong ngoặc là một cấp số nhân: \( S_n = \frac{2^{n+1}-1}{2-1} = 2^{n+1}-1 \)

d) Tính \( 2^{100} \times (1 + 2 + 2^2 + ... + 2^{n}) \)

### Bài 2: Tìm số tự nhiên \( x \), biết:
a) \( 3^{x} - 5^{3} = 36 \)
- Giải phương trình \( 3^{x} = 36 + 125 \Rightarrow 3^{x} = 161 \)
- \( x = ? \)

b) \( 7^{4} + 4^{x} = 23 \)
- Tương tự, tìm giá trị của \( x \).

c) \( 2^{2x} + 4^{4} = 1056 \)
- \( 4^{4} = 256 \)
- Tìm \( x \) từ \( 2^{2x} + 256 = 1056 \)

### Bài 3: Tìm số tự nhiên \( x \), biết:
a) \( (x+1) + (x+2) + (x+3) + ... + (x+50) = 1375 \)
- Tổng \( = 51x + \frac{50 \times 51}{2} \)

b) \( x + (x + 2) + (x + 4) + ... + (x + 100) = 2601 \)
- Tổng \( = 51x + 2(0 + 1 + 2 + ... + 50) \)

c) \( 1 \cdot 32 + 7 \cdot 8 + 4 \cdot x = 200x \)

d) Giải từng phương trình để tìm \( x \).

Nếu bạn cần giải chi tiết hơn cho từng phần hoặc cụ thể hơn về một phép tính nào đó, hãy cho tôi biết!