Cho hàm số \( y = \frac{1}{3}x^3 + (m+1)x^2 + (m^2 + 2m)x - 3 \), với \( m \) là tham số

Để xác định tính đúng sai của các phát biểu liên quan đến hàm số \( y = \frac{1}{3}x^3 + (m+1)x^2 + (m^2 + 2m)x - 3 \), ta sẽ phân tích từng phần.

### a) Với mọi \( m \), hàm số luôn có hai điểm cực trị.

Để tìm cực trị, ta tính đạo hàm bậc nhất của hàm số:

\[
y' = x^2 + 2(m+1)x + (m^2 + 2m)
\]

Hàm số có hai điểm cực trị khi phương trình bậc hai \( y' = 0 \) có hai nghiệm phân biệt, tức là:

\[
\Delta = (2(m+1))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m^2 + 2m) > 0
\]

Giải bất phương trình này để xác định điều kiện cho \( m \). Kết quả sẽ cho biết có tồn tại giá trị \( m \) nào làm cho \( y' \) có hai nghiệm phân biệt hay không.

### b) Hàm số luôn nghịch biến trên khoảng có độ dài lớn hơn 2.

Hàm số sẽ nghịch biến nếu \( y' \leq 0 \) trong khoảng đó. Ta cần kiểm tra điều kiện để xác định khoảng mà \( y' \) giữ dấu âm.

### c) Không tồn tại giá trị \( m \) của tham số \( m \) để hàm số đồng biến trên \( \mathbb{R} \).

Hàm số đồng biến khi \( y' \geq 0 \) với mọi \( x \). Giải bài toán này tương tự như ở phần b).

### d) Hàm số nghịch biến trên \( (-1; 1) \) khi và chỉ khi \( m \geq -1 \).

Ta kiểm tra điều kiện đủ để hàm số nghịch biến trên khoảng này bằng cách phân tích dấu của \( y' \) trong khoảng \( x \in (-1, 1) \).

### Kết luận
Phân tích các phần trên sẽ cho biết tính đúng sai của từng phát biểu. Bạn nên thực hiện các bước tính toán ở trên với giá trị cụ thể của \( m \) hoặc sử dụng thảo luận về tính chất của hàm số để rút ra các kết luận chính xác.