Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình đã cho mà không phụ thuộc vào m

Để tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình bậc hai

\[
x^2 - 2(2m+1)x + (3 - 4m) = 0,
\]

chúng ta có thể sử dụng các tính chất cơ bản về nghiệm của phương trình bậc hai.

Giả sử hai nghiệm của phương trình là \( x_1 \) và \( x_2 \). Theo định lý Viète, ta có:

1. Tổng hai nghiệm:
\[
x_1 + x_2 = 2(2m + 1) = 4m + 2
\]

2. Tích hai nghiệm:
\[
x_1 x_2 = 3 - 4m.
\]

Chúng ta muốn tìm một hệ thức liên hệ giữa \( x_1 \) và \( x_2 \) mà không phụ thuộc vào \( m \).

Từ các công thức trên, chúng ta có thể biến đổi như sau:

1. Từ tổng:
\[
S = x_1 + x_2 = 4m + 2.
\]

2. Từ tích:
\[
P = x_1 x_2 = 3 - 4m.
\]

Chúng ta có thể biểu diễn \( m \) thông qua \( S \) và \( P \):

Từ công thức cho tổng và tích, ta có:

\[
4m = S - 2 \quad \Rightarrow \quad m = \frac{S - 2}{4}
\]

Thay vào công thức tích:

\[
P = 3 - 4m \quad \Rightarrow \quad P = 3 - 4 \left( \frac{S - 2}{4} \right).
\]

G simplify, ta có:

\[
P = 3 - (S - 2) = 5 - S.
\]

Chúng ta có một hệ thức:

\[
P + S = 5.
\]

Từ đây, hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm \( x_1 \) và \( x_2 \) mà không phụ thuộc vào \( m \) là:

\[
x_1 + x_2 + x_1 x_2 = 5.
\]