Để tính giá trị \( A = 1 + 3 + 3^2 + 3^3 + \ldots + 3^{2023} \), ta nhận thấy đây là một chuỗi số hạng hình học. Ta có thể sử dụng công thức tổng của chuỗi số hạng hình học:

\[
A = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}
\]

Trong đó:
- \( a \) là số hạng đầu (ở đây \( a = 1 \)),
- \( r \) là tỷ lệ của chuỗi (ở đây \( r = 3 \)),
- \( n \) là số hạng (ở đây \( n = 2024 \), vì từ \( 3^0 \) đến \( 3^{2023} \) có 2024 số hạng).

Áp dụng công thức này, ta có:

\[
A = \frac{1 \cdot (3^{2024} - 1)}{3 - 1} = \frac{3^{2024} - 1}{2}
\]

Bây giờ, chúng ta cần tìm số dư của \( A \) khi chia cho 13. Đầu tiên, ta cần tính \( 3^{2024} \mod 13 \). Ta sẽ sử dụng định lý Fermat, nói rằng nếu \( p \) là số nguyên tố, và \( a \) không chia hết cho \( p \), thì \( a^{p-1} \equiv 1 \mod p \). Ở đây, \( p = 13 \) và \( a = 3 \), do đó:

\[
3^{12} \equiv 1 \mod 13
\]

Để tính \( 3^{2024} \mod 13 \), trước tiên, ta tìm \( 2024 \mod 12 \):

\[
2024 \div 12 = 168 \quad (\text{số nguyên}), \quad \text{và } 2024 - 168 \times 12 = 0
\]

Vậy \( 2024 \equiv 0 \mod 12 \). Theo định lý Fermat, thì:

\[
3^{2024} \equiv 3^0 \equiv 1 \mod 13
\]

Bây giờ, thay vào biểu thức của \( A \):

\[
A = \frac{3^{2024} - 1}{2} \equiv \frac{1 - 1}{2} \mod 13
\]

Điều này dẫn đến:

\[
A \equiv \frac{0}{2} \equiv 0 \mod 13
\]

Vì vậy, số dư khi chia \( A \) cho 13 là:

\[
\boxed{0}
\]