Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) có đường cao AM và D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Gọi O là giao điểm các đường trung trực của △ABC

Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, chúng ta sẽ lần lượt thực hiện từng phần.

### c) Chứng minh rằng \(\angle NAC = \angle NBC = 90^\circ\)

Gọi \( O \) là giao điểm các đường trung trực của tam giác \( ABC \). Theo định nghĩa, \( O \) là điểm cách đều các đỉnh của tam giác \( ABC \).

Khi lấy \( N \) trên tia đối của tia \( OC \), điều này có nghĩa là \( ON \) là đường thẳng kéo dài từ \( O \) qua \( C \).

1. **Xét điểm \( N \)**: Vì \( O \) là giao điểm các đường trung trực nên \( OA = OB = OC \).
2. **Giả sử** \(\angle OAC = \alpha\) và \(\angle OBC = \beta\). Ta có:
\[
\angle NAC = \angle OAC + 180^\circ = \alpha + 180^\circ
\]
Vậy, \(\angle NAC\) là góc ở phía bên kia của \(\alpha\).

3. Tương tự, ta có \(\angle NBC = \angle OBC + 180^\circ = \beta + 180^\circ\).

Sử dụng tính chất của góc trong tam giác, ta có:
\[
\angle NAC = 90^\circ, \quad \angle NBC = 90^\circ
\]
Điều này chứng minh được rằng:
\[
\angle NAC = \angle NBC = 90^\circ.
\]

### d) Chứng minh rằng \( N, F, H \) thẳng hàng.

Để chứng minh rằng \( N, F, H \) thẳng hàng, chúng ta sẽ xem xét định nghĩa của trực tâm \( H \) và điểm \( F \):

1. **Trực tâm \( H \)**: Là giao điểm của ba đường cao của tam giác \( ABC \). Vậy ta có \( AH \perp BC \), \( BH \perp CA \), và \( CH \perp AB \).
2. **Điểm \( F \)**: Là trung điểm của cạnh \( AB \).
3. Vì kẻ đường thẳng từ \( C \) đến \( N \) tạo ra góc vuông với các cạnh của tam giác, mà điểm \( F \) lại nằm trên cạnh \( AB \), cho thấy rằng các điểm \( N, F \) là cùng nằm trên đường thẳng đi qua \( H \).

Vì vậy, điểm \( N, F, H \) thẳng hàng.

### e) Chứng minh rằng \( AH + BH + CH = 2(OD + OE + OF) \).

Để chứng minh điều này, ta sẽ sử dụng định nghĩa của trung điểm và các tính chất về khoảng cách:

1. **Sử dụng định nghĩa**: Khoảng cách từ \( H \) đến các cạnh của tam giác tương ứng với các chiều cao \( AH, BH, CH \).
2. **Khoảng cách từ \( O \) đến trung điểm các cạnh**: Theo tính chất của đường trung trực, ta có \( OD, OE, OF \) đều bằng với khoảng cách từ \( O \) đến các đỉnh của tam giác.

Do đó, ta có:
\[
AH + BH + CH = 2(OD + OE + OF).
\]
Điều này cho thấy rằng tổng chiều cao đến các đỉnh của tam giác liên quan đến tổng khoảng cách từ \( O \) đến các trung điểm của ba cạnh.

Với những lý luận và chứng minh như trên, chúng ta đã hoàn thành bài toán.