Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, ta sẽ làm theo từng phần một.

### Phần a: Chứng minh tứ giác ABCD là hình bình hành.

1. **Cấu trúc hình học**:
- \( M \) là trung điểm của đoạn \( BC \) (do AM là đường trung tuyến).
- \( D \) được chọn sao cho \( M \) là trung điểm của đoạn \( AD \).

2. **Chứng minh hai cặp cạnh đối diện bằng nhau**:
- Xét \( AB \) và \( CD \):
- \( AM = MB \) (do \( M \) là trung điểm).
- \( MD = MA \) (do \( M \) là trung điểm của \( AD \)).
- Do đó, ta có \( AB = MD \) (vì \( M \) là trung điểm).

- Xét \( AC \) và \( BD \):
- \( AM = MB \) (cũng như trên).
- \( AC = MD \) (do \( M \) là trung điểm).
- Vậy, ta có \( AC = BD \).

3. **Kết luận**:
- Do hai cặp cạnh đối diện bằng nhau và \( ABCD \) có bốn đỉnh, nên tứ giác \( ABCD \) là một hình bình hành.

### Phần b: Chứng minh \( \angle BDC = 90° \).

1. **Xem xét các góc**:
- Tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \) nên \( \angle ACB = 90° \).
- \( D \) nằm trên tia đối của \( AM \) nên \( \angle AMD = 180° - \angle ACB = 90° \).

2. **Dẫn đến sự thật**:
- Vì \( D \) nằm trên tiếp tuyến của \( AM \) và tạo thành các góc bù nhau với \( B \) và \( C \), ta rút ra là \( \angle BDC = 90° \).

### Phần c: Chứng minh \( \Delta ABC \cong \Delta CDB \).

1. **Chứng minh bằng phương pháp đánh giá góc và cạnh**:
- Vì \( \angle ACB = \angle BDC = 90° \).
- Ta đã chứng minh rằng \( AM = MB \) và \( AC = BD \).
- \( AB = CD \) do các thuộc tính của hình bình hành.

2. **Suy luận**:
- Áp dụng định lý cạnh-góc-cạnh (CCC), ta chứng minh được \( \Delta ABC \cong \Delta CDB \).

### Suy ra \( AM = MB = MC = \frac{1}{2} BC \).

1. **Kết luận từ sự tương đồng giữa các đoạn thẳng**:
- Bởi vì \( M \) là trung điểm của \( BC \), ta có:
\[
MB = \frac{1}{2} BC \quad \text{và} \quad AM = MB
\]
- Vậy suy ra \( AM = MB = MC = \frac{1}{2} BC \).

### Tổng Kết

Như vậy, ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán:
1. Tứ giác \( ABCD \) là hình bình hành.
2. \( \angle BDC = 90° \).
3. \( \Delta ABC \cong \Delta CDB \).
4. Từ đó suy ra rằng \( AM = MB = MC = \frac{1}{2} BC \).