Cho dãy số \( (u_n) \) xác định bởi \[ \begin{cases} u_1 = 1 \\ u_{n+1} = u_n + 2n + 1, n \geq 1 \end{cases} \] Tìm giá trị của n để \(-u_n + 2024n + 2025 = 0.\)

Để tìm biểu thức của dãy số \( (u_n) \), ta bắt đầu từ các công thức đã cho:

\[
u_1 = 1
\]
\[
u_{n+1} = u_n + 2n + 1
\]

Ta có thể tính một vài giá trị của dãy số này:

- \( u_2 = u_1 + 2 \cdot 1 + 1 = 1 + 2 + 1 = 4 \)
- \( u_3 = u_2 + 2 \cdot 2 + 1 = 4 + 4 + 1 = 9 \)
- \( u_4 = u_3 + 2 \cdot 3 + 1 = 9 + 6 + 1 = 16 \)

Ta nhận thấy rằng dãy số này có dạng hình vuông. Cụ thể, \( u_n = n^2 \).

Để chứng minh điều này theo quy nạp, ta giả thiết rằng \( u_n = n^2 \) là đúng. Khi đó:

\[
u_{n+1} = u_n + 2n + 1 = n^2 + 2n + 1 = (n + 1)^2
\]

Vậy \( u_{n+1} = (n + 1)^2 \) cũng đúng. Do đó, ta có thể khẳng định rằng \( u_n = n^2 \) cho mọi \( n \geq 1 \).

Bây giờ, ta cần giải phương trình:

\[
-u_n + 2024n + 2025 = 0
\]

Thay \( u_n = n^2 \) vào phương trình, ta có:

\[
-n^2 + 2024n + 2025 = 0
\]

Biến đổi phương trình này thành:

\[
n^2 - 2024n - 2025 = 0
\]

Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai \( ax^2 + bx + c = 0 \) với \( a = 1, b = -2024, c = -2025 \):

\[
n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{2024 \pm \sqrt{2024^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2025)}}{2 \cdot 1}
\]

Tính \( b^2 - 4ac \):

\[
2024^2 + 4 \cdot 2025 = 4097776 + 8100 = 4095876
\]

Tính \( \sqrt{4095876} \):

\[
\sqrt{4095876} = 2024 \quad (\text{vì } 2024^2 = 4095876)
\]

Tiếp theo, chúng ta có:

\[
n = \frac{2024 \pm 2024}{2}
\]

Tính các nghiệm:

1. \( n = \frac{4048}{2} = 2024 \)
2. \( n = \frac{0}{2} = 0 \)

Vì \( n \) phải là số tự nhiên và \( n \geq 1 \), ta có nghiệm:

\[
n = 2024
\]

Vậy giá trị cần tìm là \( \boxed{2024} \).