Để giải bài toán, chúng ta sẽ phân tích từng phần một.

### a) Tứ giác AECF là hình gì? Vì sao?
Tứ giác AECF có các đỉnh A, E, C, F.
- E là trung điểm của AB và F là trung điểm của CD.
- Do ABCD là hình chữ nhật, nên các cạnh AB và CD song song và bằng nhau.
- Đoạn AE bằng đoạn CF vì E và F là trung điểm.
- Hơn nữa, do ABCD là hình chữ nhật nên góc AEC và góc CEF đều là góc vuông.

Do đó, tứ giác AECF là hình chữ nhật.

### b) Chứng minh: Tứ giác AEFD là hình chữ nhật.
Để chứng minh AEFD là hình chữ nhật, chúng ta chứng minh rằng:
- AE // DF và AE = DF: E và F là trung điểm của AB và CD nên AE = EF. Đồng thời, AB // CD.
- AF // ED và AF = ED: Tương tự, AF // ED vì cả hai đoạn đều song song với các cạnh AB và CD.

Vì hai cặp cạnh đối diện vừa song song và vừa bằng nhau, do đó AEFD là hình chữ nhật.

### c) Vẽ điểm M đối xứng với F qua D và điểm N đối xứng với A qua D. Chứng minh: Tứ giác AMNF là hình thoi.
- Điểm M là đối xứng của F qua D, có nghĩa là DF = DM.
- Điểm N là đối xứng của A qua D, có nghĩa là DA = DN.
- Do D là trung điểm của đoạn AF thì: AF = DN = AF và DF = DM.

Vì AE = DF = AF và DN = DA và lại AE và DF đều vuông góc (do là cạnh hình chữ nhật), nên A, M, N, F lần lượt là các đỉnh của một hình thoi. Hình thoi có các cạnh bằng nhau và các đường chéo cắt nhau vuông góc.

### d) Gọi I, K lần lượt là giao điểm của BD với AF, EF. Chứng minh: IK = 1/3 DK.
- Đầu tiên, chúng ta nhận thấy rằng trên đường chéo BD của hình chữ nhật, I và K là các giao điểm của đường chéo với các cạnh AF và EF.
- Vì AE = EF và AEFD là hình chữ nhật, chúng ta có các tỷ lệ:

Vì AE là trung bình của A và C nên AE = EC. Bởi vậy, từ trung điểm E đến trung điểm F sẽ xác định một tỷ lệ nhất định.

Áp dụng định lý Trung bình trong hình học, ta có:

\[ IK = \frac{1}{3} DK \]

Việc chứng minh cụ thể hơn này có thể yêu cầu sử dụng hệ tọa độ hoặc phương pháp hình học cụ thể để rõ ràng hơn, nhưng ý chính là tỷ lệ mà chúng ta muốn chứng minh và điều đó phụ thuộc vào tính chất của hình chữ nhật.

Hy vọng những phân tích trên giúp bạn hiểu rõ hơn về hình chữ nhật và các tứ giác liên quan.