Cho đường tròn (O; R). Từ một điểm A cách O một khoảng 2R ta vẽ hai tiếp tuyến AB, AC (B, C là tiếp điểm)

Để chứng minh rằng tam giác \(ABC\) là tam giác đều, ta có thể sử dụng tính chất của các tiếp tuyến và định lý hình học sau:

1. **Cách xác định các điểm B và C**:
- Do điểm \(A\) cách tâm \(O\) một khoảng \(2R\) và \(AB\), \(AC\) là các tiếp tuyến xuất phát từ \(A\), ta có:
\[
AB = AC
\]
- Bởi vì các tiếp tuyến từ một điểm đến một đường tròn có độ dài bằng nhau.

2. **Tính góc \(\angle OAB\) và \(\angle OAC\)**:
- Từ định nghĩa về tiếp tuyến, ta biết rằng \(OB\) vuông góc với \(AB\) và \(OC\) vuông góc với \(AC\). Do đó:
\[
\angle OAB = \angle OAC = 90^\circ
\]

3. **Tính độ dài \(OB\) và \(OC\)**:
- Độ dài \(OB\) và \(OC\) là bán kính \(R\) của đường tròn.

4. **Áp dụng Định lý Cosine**:
- Ta có tam giác \(OAB\) và \(OAC\) là hai tam giác vuông với:
\[
OA^2 = OB^2 + AB^2
\]
\[
OA^2 = OC^2 + AC^2
\]

5. **Chứng minh Độ dài các cạnh**:
- Từ \(OA = 2R\), \(OB = OC = R\), dễ dàng tính được độ dài \(AB\) và \(AC\):
\[
(2R)^2 = R^2 + AB^2 \Rightarrow 4R^2 = R^2 + AB^2 \Rightarrow AB^2 = 3R^2 \Rightarrow AB = AC = R\sqrt{3}
\]

6. **Chứng minh tâm giác \(ABC\) đều**:
- Vậy độ dài các cạnh \(AB\), \(AC\), và \(BC\) đều bằng nhau, do đó ta có:
\[
AB = AC = BC
\]
Hằng số đó chứng minh rằng tam giác \(ABC\) là tam giác đều.

Kết luận: Ta đã chứng minh rằng tam giác \(ABC\) là tam giác đều.