Chứng minh MNPH là hình thang cân

Giải bài toán theo các bước như sau:

### Bước 1: Vẽ hình

1. Vẽ tam giác ABC với AB < AC và AH là đường cao từ A hạ xuống BC.
2. Đánh dấu trung điểm P của AB.
3. Kẻ đường thẳng PN song song với BC.
4. Gọi N thuộc AC và M thuộc CB sao cho MN song song với AB.

### Bước 2: Xác định hình tứ giác BPMN

Tứ giác BPMN có điểm B, P, M, N:

- BP = PA (vì P là trung điểm của AB).
- PN song song với BC (theo điều kiện của bài toán).
- MN song song với AB.

Như vậy, tứ giác BPMN là hình thang.

### Bước 3: Chứng minh MNPH là hình thang cân

Để chứng minh MNPH là hình thang cân, ta cần chứng minh rằng hai cạnh MN và HP là bằng nhau.

- Vì MN song song với AB (theo điều kiện bài toán).
- Hai cạnh MN và HP đều nằm trên những đường thẳng song song, nên chúng ta có thể chỉ ra rằng góc MNP bằng góc BAP (góc ngoài).
- Tương tự, góc HNP bằng góc BAP.

Như vậy, MNPH là hình thang với cạnh MN song song với cạnh HP.

Tiếp theo, ta chú ý rằng vì P là trung điểm của AB, nên BP = PA.

Từ đó, chúng ta có:
\[ MN = PN \]
và
\[ HP = PH \]

**Kết luận**: MNPH là hình thang cân với MN bằng HP.

### Bước 4: Chứng minh PN là trung trực của AH

Để chứng minh PN là trung trực của đoạn AH, ta cần chứng minh rằng:
1. PN cắt AH tại trung điểm của AH.
2. PN vuông góc với AH.

- **Tại trung điểm**: Do P là trung điểm của AB, mà AB song song với PN. Từ đó, từ tính chất của trung điểm, P chính là điểm ở giữa đoạn AH.
- **Vuông góc**: PN song song với BC và BC vuông góc với AH (do AH là đường cao). Theo định nghĩa của trung trực, PN phải vuông góc với AH.

### Kết luận

- Tứ giác BPMN là hình thang.
- MNPH là hình thang cân.
- PN là trung trực của đoạn AH.

### Hình vẽ

Do không thể vẽ trực tiếp trong văn bản này, bạn có thể tự vẽ dựa trên hướng dẫn và các thông tin đã cung cấp. Hãy chú ý đến tính chất độ dài và các đường song song.