Dãy số \( \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \frac{1}{64} + \frac{1}{128} + \frac{1}{256} \) là một cấp số nhân với số hạng đầu là \( \frac{1}{2} \) và công bội là \( \frac{1}{2} \).

Tổng của một cấp số nhân có thể được tính bằng công thức:

\[
S_n = a \frac{1 - r^n}{1 - r}
\]

Trong đó:
- \( S_n \) là tổng của n số hạng đầu tiên
- \( a \) là số hạng đầu tiên
- \( r \) là công bội
- \( n \) là số lượng số hạng

Ở đây:
- \( a = \frac{1}{2} \)
- \( r = \frac{1}{2} \)
- \( n = 8 \)

Áp dụng công thức vào ta có:

\[
S_8 = \frac{1}{2} \frac{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^8}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \frac{1 - \frac{1}{256}}{\frac{1}{2}} = 1 - \frac{1}{256} = \frac{256 - 1}{256} = \frac{255}{256}
\]

Vậy tổng của dãy số này là \( \frac{255}{256} \).