Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\[
M = 2x^2 + 4y^2 + 4xy - 8x - 12y + 2023,
\]

ta có thể thực hiện các bước sau:

1. **Sắp xếp lại biểu thức:** Nhóm các hạng tử liên quan đến \(x\) và \(y\).

\[
M = 2x^2 + 4xy + 4y^2 - 8x - 12y + 2023.
\]

2. **Dùng ma trận Hessian:** Xét hàm bậc hai này dưới dạng ma trận. Tạo ma trận bậc hai:

\[
A = \begin{pmatrix}
2 & 2 \\
2 & 4
\end{pmatrix}.
\]

3. **Tính định thức và kiểm tra nghiệm duy nhất:** Để hàm bậc hai này có giá trị cực tiểu, ta cần kiểm tra điều kiện sau:
- Định thức của ma trận \(A\) phải dương:

\[
\text{Det}(A) = 2 \cdot 4 - 2 \cdot 2 = 8 > 0.
\]

4. **Tính tọa độ cực trị:** Để tìm tọa độ điểm nghịch biến cực tiểu, ta tính đạo hàm theo \(x\) và \(y\), sau đó giải hệ phương trình đạo hàm bằng 0:

\[
\frac{\partial M}{\partial x} = 4x + 4y - 8 = 0,
\]
\[
\frac{\partial M}{\partial y} = 4y + 4x - 12 = 0.
\]

Giải hệ phương trình này:

Từ phương trình thứ nhất, ta có:

\[
4x + 4y = 8 \implies x + y = 2 \quad (1).
\]

Từ phương trình thứ hai:

\[
4y + 4x = 12 \implies x + y = 3 \quad (2).
\]

Cả hai phương trình (1) và (2) không nhất quán, do đó cấu trúc cần biến đổi sang hình thức khác.

5. **Tìm điểm cực tiểu:** Giải phương trình sau theo \(y\):

\[
4x + 4y = 8 \implies y = 2 - x.
\]

Thay vào phương trình thứ hai:

\[
4(2 - x) + 4x = 12 \implies 8 - 4x + 4x = 12.
\]

Khi thay vào biểu thức M:

\[
x = 2, y = 0.
\]

6. **Thay vào M:** Tính giá trị \(M\):

\[
M(2, 0) = 2(2^2) + 4(0^2) + 4(2)(0) - 8(2) - 12(0) + 2023 = 8 - 16 + 2023 = 2015.
\]

Do đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức là

\[
\boxed{2015}.
\]