Để tìm nguyên hàm của các hàm số trong bài tập, ta sẽ giải từng phần.

### (1) Tìm nguyên hàm của \( \left| \sin\left(\frac{x}{2}\right) - \cos\left(\frac{x}{2}\right) \right|^2 \, dx \)

Ta bắt đầu bằng việc khai triển biểu thức bên trong:

\[
\left| \sin\left(\frac{x}{2}\right) - \cos\left(\frac{x}{2}\right) \right|^2 = \left( \sin\left(\frac{x}{2}\right) - \cos\left(\frac{x}{2}\right) \right)^2
\]

Mở rộng biểu thức bình phương:

\[
= \sin^2\left(\frac{x}{2}\right) - 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) + \cos^2\left(\frac{x}{2}\right)
\]

Sử dụng định lý pitago \( \sin^2(a) + \cos^2(a) = 1 \), ta có:

\[
= 1 - \sin(x) \quad (\text{vì } \sin(2a) = 2\sin(a)\cos(a))
\]

Vậy nguyên hàm của biểu thức trên là:

\[
\int \left( 1 - \sin(x) \right) dx = x + \cos(x) + C
\]

### (2) Tìm nguyên hàm của \( \int (x + \tan^2(x)) \, dx \)

Tách biệt từng phần trong biểu thức:

\[
\int (x + \tan^2(x)) \, dx = \int x \, dx + \int \tan^2(x) \, dx
\]

Nguyên hàm của \( x \):

\[
\int x \, dx = \frac{x^2}{2} + C_1
\]

Nguyên hàm của \( \tan^2(x) \) có thể sử dụng công thức:

\[
\tan^2(x) = \sec^2(x) - 1
\]

Do đó:

\[
\int \tan^2(x) \, dx = \int (\sec^2(x) - 1) \, dx = \int \sec^2(x) \, dx - \int 1 \, dx = \tan(x) - x + C_2
\]

Kết hợp lại:

\[
\int (x + \tan^2(x)) \, dx = \frac{x^2}{2} + \tan(x) - x + C
\]

### Kết luận

1. Nguyên hàm của \( \left| \sin\left(\frac{x}{2}\right) - \cos\left(\frac{x}{2}\right) \right|^2 \) là \( x + \cos(x) + C \).
2. Nguyên hàm của \( (x + \tan^2(x)) \) là \( \frac{x^2}{2} + \tan(x) - x + C \).