Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của AC. Trên tia đối của tia MB lấy điểm E sao cho MB = ME

Để chứng minh các phần a), b) và c) trong bài toán, ta thực hiện theo các bước sau:

### a) Chứng minh \( \triangle AMB = \triangle CME \)

1. **Điểm chung**: Cả hai tam giác \( \triangle AMB \) và \( \triangle CME \) đều có đỉnh \( M \).
2. **Độ dài cạnh**:
- Ta có \( MB = ME \) theo giả thiết.
- \( AM = CM \) (do \( M \) là trung điểm của \( AC \)).
3. **Góc**:
- Tại điểm \( M \), góc \( \angle AMB \) và \( \angle CME \) đều là góc vuông (do tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \)).
4. **Cách lập hai tam giác**: Từ những điều trên, ta có:
- \( AM = CM \)
- \( MB = ME \)
- \( \angle AMB = \angle CME = 90^\circ \)

Do đó, theo tiêu chuẩn \( \text{Cạnh-Cạnh-Cạnh} \) (CCS), ta có \( \triangle AMB = \triangle CME \).

### b) Chứng minh \( AB = CE \) và \( AC \perp EF \)

1. **Đoạn thẳng**:
- Vì \( M \) là trung điểm của \( AC \) và \( MB = ME \), suy ra \( B \) và \( E \) nằm trên đường thẳng tạo bởi \( M \) và các điểm nửa phía bên kia.
- Xét tam giác \( \triangle AMB \) và \( \triangle CME \) đã chứng minh ở phần a), ta có \( AB = CE \) theo định luật các cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau.
2. **Đường thẳng vuông góc**:
- Đường thẳng \( AC \) vuông góc với \( EF \) vì \( \triangle AMB \) và \( \triangle CME \) có góc vuông tại \( M \).

### c) Chứng minh \( C \) là trung điểm của \( EF \)

1. **Điểm trung điểm**:
- \( C \) nằm trên đoạn \( EF \). Ta đã biết \( AB = CE \).
- Xét độ dài từ điểm \( C \) đến điểm \( E \): \( CE = CB \) (đến từ việc vừa chứng minh \( AB = CE \)).
2. **Khẳng định**: Do \( CM = CE \) (nửa đoạn thẳng) và \( M \) là trung điểm, suy ra \( C \) là trung điểm của đoạn phân chia \( EF \).

### Kết luận:
Hoàn thành chứng minh cho cả 3 phần theo yêu cầu.