Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần theo yêu cầu:

### 1. Tìm điều kiện xác định của các phần thức:

#### a. \(\frac{3}{5x + 2}\)
Điều kiện xác định: \(5x + 2 \neq 0\)
Giải: \(5x \neq -2 \Rightarrow x \neq -\frac{2}{5}\)

#### b. \(\frac{x^2 + 3}{x^2 - 6x + 9}\)
Điều kiện xác định: \(x^2 - 6x + 9 \neq 0\)
Giải: \((x - 3)^2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3\)

#### c. \(\frac{x}{x^2 + 3x}\)
Điều kiện xác định: \(x^2 + 3x \neq 0\)
Giải: \(x(x + 3) \neq 0 \Rightarrow x \neq 0 \text{ và } x \neq -3\)

#### d. \(\frac{2x + 1}{x^2 - 3x + 2}\)
Điều kiện xác định: \(x^2 - 3x + 2 \neq 0\)
Giải: \((x - 1)(x - 2) \neq 0 \Rightarrow x \neq 1 \text{ và } x \neq 2\)

### 2. Rút gọn các phần thức:

#### a. \(\frac{3x^2 + 6xy}{6x^2}\)
Rút gọn:
\[
\frac{3x^2 + 6xy}{6x^2} = \frac{3x(x + 2y)}{6x^2} = \frac{x + 2y}{2x}
\]

#### b. \(\frac{2x^2 - x^3}{x^2 - 4}\)
Rút gọn:
\[
\frac{x^2(2 - x)}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{x^2(2 - x)}{-(x - 2)(2 - x)} = -\frac{x^2}{x - 2}, \, x \neq \pm 2
\]

#### c. \(\frac{x + 1}{x^3 + 1}\)
Rút gọn:
\[
x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1) \Rightarrow \frac{x + 1}{(x + 1)(x^2 - x + 1)} = \frac{1}{x^2 - x + 1} \text{ (với } x \neq -1\text{)}
\]

### 3. Tìm giá trị của phần thức:

#### a. \(\frac{x^2 - 2x + 1}{x + 2}\) tại \(x = -3, x = 1\)
- Tại \(x = -3\):
\[
\frac{(-3)^2 - 2(-3) + 1}{-3 + 2} = \frac{9 + 6 + 1}{-1} = \frac{16}{-1} = -16
\]
- Tại \(x = 1\):
\[
\frac{1^2 - 2(1) + 1}{1 + 2} = \frac{1 - 2 + 1}{3} = \frac{0}{3} = 0
\]

#### b. \(\frac{xy - 3y^2}{x + y}\) tại \(x = 3, y = -1\)
\[
\frac{3(-1) - 3(-1)^2}{3 + (-1)} = \frac{-3 - 3}{2} = \frac{-6}{2} = -3
\]

Tóm tắt kết quả:
1.
- a: \(x \neq -\frac{2}{5}\)
- b: \(x \neq 3\)
- c: \(x \neq 0, -3\)
- d: \(x \neq 1, 2\)
2.
- a: \(\frac{x + 2y}{2x}\)
- b: \(-\frac{x^2}{x - 2}\)
- c: \(\frac{1}{x^2 - x + 1}\)
3.
- a: Tại \(x = -3\): -16, \(x = 1\): 0
- b: -3