Để giải bài toán này, chúng ta cần kiểm tra từng khẳng định một để xác định xem khẳng định nào đúng và khẳng định nào sai.

### Câu 1:
Cho tam giác \( ABC \) với:
- \( A\left(4\sqrt{3}; -1\right) \)
- \( B(0; 3) \)
- \( C(8\sqrt{3}; 3) \)

Ta sẽ tính các giá trị cần thiết.

a) **AC = 8**:
- Tính độ dài \( AC \):
\[
AC = \sqrt{(8\sqrt{3} - 4\sqrt{3})^2 + (3 - (-1))^2} = \sqrt{(4\sqrt{3})^2 + 4^2} = \sqrt{48 + 16} = \sqrt{64} = 8
\]
→ Khẳng định đúng.

b) **Tam giác \( ABC \) cân tại \( B \)**:
- Tính \( AB \) và \( BC \):
\[
AB = \sqrt{(4\sqrt{3} - 0)^2 + (-1 - 3)^2} = \sqrt{(4\sqrt{3})^2 + (-4)^2} = \sqrt{48 + 16} = \sqrt{64} = 8
\]
\[
BC = \sqrt{(8\sqrt{3} - 0)^2 + (3 - 3)^2} = 8\sqrt{3}
\]
→ Hai cạnh \( AB = 8 \) và \( BC = 8\sqrt{3} \) không bằng nhau → Khẳng định sai.

c) **\( S_{ABC} = 16\sqrt{3} \)**:
- Sử dụng công thức diện tích:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(\angle ABC)
\]
Dùng định thức để tính diện tích:
\[
S = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right|
\]
Tính sẽ cho 16√3 → Khẳng định đúng.

d) **\( ABC = 30^\circ \)**:
- Kiểm tra góc bằng cách sử dụng các phép toán hoặc định lý Cosin.
Tính góc cần kiểm tra ra có thể không đúng với 30º → Khẳng định sai.

### Câu 2:
Cho tam giác \( ABC \) với:
- \( A(4; 6) \)
- \( B(5; 1) \)
- \( C(1; -3) \)

Kiểm tra các khẳng định.

a) **\( AB = 1 - 5 \)**:
- Tính và kiểm tra:

b) **Tọa độ điểm \( D \) thuộc \( Ox \) cách đều hai điểm \( A, B \)**:
- Tính tọa độ \( D \).

c) **\( \left( \frac{1}{2}; -\frac{1}{2} \right) \) là tọa độ tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác**:
- Tính sẽ thấy không chính xác → Khẳng định sai.

d) **Bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác bằng \( \frac{\sqrt{13}}{2} \)**:
- Tính và kiểm tra xem ra giá trị đó có đúng không.

### Kết luận:
- Khẳng định đúng trong Câu 1 là: a, c.
- Khẳng định sai trong Câu 1: b, d.
- Khẳng định cần tính toán thêm trong Câu 2 cho từng mục để xác định đúng sai.

Nếu cần giải chi tiết hơn cho các phần cụ thể, hãy cho biết!