Chương 3: Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân

Bài 2: Dãy số

Bài 2 (trang 92 SGK Đại số 11): Cho dãy số (u_n), biết u₁ = - 1, u_{n+ 1} = u_n + 3 với n ≥ 1.

a. Viết năm số hạng đầu của dãy số;

b. Chứng minh bằng phương pháp quy nạp: u_n = 3n – 4

Lời giải:

a. u₁ = - 1, u_{n+ 1} = u_n + 3 với n > 1

u₁ = - 1 ; u₂ = u₁ + 3 = - 1 + 3 = 2

Ta có: u₃ = u₂ + 3 = 2 + 3 = 5

u₄ = u₃ + 3 = 5 + 3 = 8

u₅ = u₄ + 3 = 8 + 3 = 11

b. Chứng minh phương pháp quy nạp: u_n = 3n – 4 (1)

Khi n = 1 thì u₁ = 3.1 - 4 = - 1, vậy (1) đúng với n = 1.

Giả sử công thức (1) đúng với n = k > 1 tức là u_k = 3k – 4 (2)

Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k + 1, tức là u_k+1 = 3(k + 1) – 4 = 3k – 1

Theo giả thiết: u_k+1 = u_k + 3

(2) u_k+1 = 3k – 4 + 3 = 3 ( k + 1) – 4

(1) đúng với n = k + 1

Vậy (1) đúng với n ∈ N*