Chương 3: Phương trình và hệ phương trình

Bài 3: Một phương trình quy về phương trình bậc nhất và bậc hai

Bài 24 (trang 84 sgk Đại Số 10 nâng cao): Giải và biện luận phương trình (a và m là các tham số):

a) |2ax + 3 |= 5;

Lời giải:

a) Ta có : |2ax + 3| = 5(1) ⇔ |2ax + 3| = |5| ⇔ 2ax + 3 = 5

hoặc 2ax + 3 = -5 ⇔ 2ax = 2 hoặc 2ax = -8 ⇔ ax = 1 hoặc ax = -4

Nếu a = 0 ⇒ (1) vô nghiệm

Nếu a ≠ 0 ⇒ (1) có hai nghiệm phân biệt : x = 1/a , x = -4/a

b)Điều kiện xác định của phương trình là ∀ x; x ≠ 1 và x ≠ - 1.

Khi đó : (2mx- m² + m - 2 )/(x² - 1) = 1 (2)

(2)⇔ 2mx – m² + m – 2 = x² – 1 ⇔ x² – 2mx + m² – m + 1 = 0 (3)

Ta có : Δ’ = m² – m² + m -1 = m – 1

Nếu m – 1 < 0 ⇔ m < 1 ⇒ (3) vô nghiệm ⇒ (2) vô nghiệm

Nếu m – 1 = 0 ⇔ m = 1 ⇒ (3) có nghiệm kép x₁ = x₂ = 1 ⇒ (2) vô nghiệm

Nếu m - 1 > 0 có m > l =0 (3) có hai nghiệm phân biệt

x₁ = m – √(m -1) ; x₂ = m + √(m -1) (hiển nhiên x₂ > x₁)

Vì m > 1 nên x₂ > 1 ⇒ x₂ luôn là nghiệm của (2). Còn x₁ ≤ 1.

Nên : Nếu x₁ = -1 ⇔ m – √(m – 1) = - 1 ⇔ m + 1 = √( m – 1)

⇔ m² + 2m +1 = m – 1(vì m + 1 > 0)

⇔ m² + m + 2 = 0 phương trình này vô nghiệm tức là x₁ ≠ -1 với mọi m > 1.

Vậy x₁ = 1 ⇔ m = 2

Tóm lại : m ≤ 1 thì (2) vô nghiệm

m > 1 và m ≠ 2 thì (2) có hai nghiệm phân biệt :

x₁ = m – √(m -1) ; x₂ = m + √(m -1)

m = 2 thì (2) có một nghiệm x = 3.