Chương 3: Phương trình và hệ phương trình

Luyện tập (trang 85)

Bài 25 (trang 85 sgk Đại Số 10 nâng cao): Giải và biện luận phương trình (m, a và k là các tham số):

a)| mx – x + 1| = | x =2|

b) a/(x – 2) + 1/(x – 2a) = 1

c) (mx – m – 3)/(x + 1) = 1;

d) (3x + k)/(x – 3) = (x – k)/( x + 3)

Lời giải:

a) Gọi phương trình | mx – x + 1| = | x =2| là phương trình (1). Ta có:

Biện luận :

Nếu m = 2 thì (2) vô nghiệm, (3) có nghiệm x = -3/2 nên (1) có nghiệm x = -3/2

Nếu m = 0 thì (3) vô nghiệm, (2) có nghiệm x = -1/2 nên (1) có nghiệm là x = -1/2

Nếu m ≠ 2 và m ≠ 0 thì (2) có nghiệm là x = 1/(m – 2) , (3) có nghiệm là x = -3/m nên (1) có 2 nghiệm x = 1/(m -2), x = -3/m

Kết luận m = 2(1) có nghiệm x = -3/2

m = 0 , (1) có nghiệm x = -1/2

m ≠ 2, m ≠ 0 (1) có hai nghiệm x = 1/(m – 2), x = -3/m

b)Điều kiện để phương trình đã cho được xác định là :

x ∈ R, x ≠ 2 và x ≠ 2a

Với điều kiện đó phương trình đã cho tương đương với :

ax – 2a2 + x – 2 = x² – 2ax – 2x + 4a

⇔ x² – 2.(3/2).(a+ 1).x + (9/4).(a + 1)² – [(a + 1)/2]² = 0

⇔ [x – 2(a + 1)][x – (a + 1)]= 0

⇔ x = 2a + 2 hoặc x = a + 1

Nếu a = 0 ⇒ Phương trình đã cho có một nghiệm x = 1

Nếu a = 1 ⇒Phương trình đã cho có một nghiệm x = 4

Nếu a ≠ 0 và a ≠ 1 ⇒ 2a + 2 ≠ 2 , 2a + 2 ≠ 2a, a + 1 ≠ 2, a + 1 ≠ 2a nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x = a + 1 , x = 2a + 2

c)Gọi phương trình : (mx – m – 3)/(x + 1) = 1 là phương trình (1)

Điều kiện xác định của phương trình (1) là : ∀ x thuộc R, x ≠ -1.

Khi đó (1) ⇔ mx - m – 3 = x + 1 ⇔ x(m – 1) = m + 4 (2)

Nếu m = 1 thì (2) vô nghiệm ⇒ (1) vô nghiệm

Nếu m ≠ 1 thì (2) ⇔ x = (m + 4)/(m – 1) giá trị này là nghiệm của (1) khi và chỉ khi (m + 4)/(m -1) ≠ -1 ⇔ m + 4 ≠ -m + 1 ⇔ m ≠ -3/2

Vậy ta có :

m = 1 hoặc m = -3/2 thì (1) vô nghiệm

m ≠ 1 và m ≠ -3/2 thì (1) có nghiệm x = (m + 4)/(m – 1)

d)gọi phương trình (3x + k)/(x – 3) = (x – k)/(x + 3) là phương trình (1)

Điều kiện xác định của (1) là : ∀ x ∈ R, x ≠ 3 và x ≠ -3. Khi đó :

(1) ⇔ 3x² = 9x + kx + 3k = x² – kx – 3x + 3k

⇔ 2x² + 12x + 2kx = 0

⇔ x² = 6x + kx = 0

⇔ x(x + 6 + k) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = -k – 6

Nếu -6 – k ≠ 3 và – 6 – k ≠ -3 ⇔ k ≠ -9 và k ≠ -3

thì khi đó x = - k – 6 là nghiệm của (1), do vậy (1) có hai nghiệm : x= 0 và x = - k – 6.

Nếu k = - 9 hoặc k = - 3 thì x = -k – 6 không là nghiệm của (1), do vậy (1) chỉ có đúng một nghiệm x = 0

Kết luận

k ≠ -9 và k ≠ -3 (1) có hai nghiệm x = 0 , x = -k – 6

k = - 9 hoặc k = -3, (1) có một nghiệm x = 0