Lý thuyết Giới hạn của dãy số

I. Giới hạn hữu hạn của dãy số

- Định nghĩa :

Định nghĩa 1: Ta nói rằng dãy số u_n vó giới hạn là 0 khi n dẫn đến dương vô cực và viết

nếu mọi số hạng cuả dãy số đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Định nghĩa 2: Ta nói rằng dãy số u_n có giới hạn là số thực a khi n dần đến dương vô cực và viêt :

- Một vài giới hạn đặc biệt

b) lim qⁿ=0 nếu |q| < 1

c) nếu u_n=c (c là hằng số) thì lim u_n=limc=c

II. Định lí về giới hạn hữu hạn

- Định lí 1:

- Nếu lim u_n= a, lim v_n= b thì

- lim(u_n+v_n) = a+ b

- lim(u_n-v_n) = a- b

- lim(u_n.v_n) = a.b

III. Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn

Cấp số nhân vô hạn u₁,u₂,u₃,..u_n,..có công bội q, với |q| < 1 gọi là cấp số nhân lùi vô hạn. Tổng S của cấp số nhân đó là :

IV. gới hạn vô cực

- Định nghĩa:

- Ta nói dãy số u_n có giới hạn +∞ nếu với mỗi số dương tuỳ ý, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, nếu lớn hơn số dương đó.

Khi đó ta viết lim u_n = +∞ hoặc lim u_n=+∞

Ta nói dãy số u_n có giới hạn -∞ nếu với mỗi số âm tuỳ ý, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, nếu nhỏ hơn số âm đó

Khi đó ta viết lim u_n = -∞ hoặc lim u_n=-∞

- Một vài giưới hạn đặc biệt

- Limn^k=+∞ với k nguyên dương

- Lim qn = + ∞ nếu q > 1

- Định lí 2:

V. Một số lưu ý

Khi làm bài tập trắc nghiệm ta có thể làm như làm bài tập tự luận, sau khi tính toán sẽ chọn kết quả phù hợp với yêu cầu của tính toán

Ngoài ra có thể sử dụng các nhận xet để có kết quả nhanh chóng, chính xác hơn. Có một số bài tập có thể nhận xét nhanh để loại trừ những phương án không phù hợp.