Để tính diện tích cần sơn mặt ngoài của hộp, ta cần tính diện tích toàn bộ mặt ngoài của thân hộp trụ và mặt cắt của nắp hộp là một nửa hình cầu.

1. Diện tích bề mặt của thân hộp trụ:
Diện tích bề mặt của thân hộp trụ được tính bằng công thức: S = 2πrh + 2πr^2, với r là bán kính đáy và h là chiều cao.
Thay giá trị vào, ta có: S_tru = 2π(5cm)(5cm) + 2π(5cm)^2 = 50π + 50π = 100π cm^2.

2. Diện tích mặt cắt của nắp hộp (nửa hình cầu):
Diện tích mặt cắt của nắp hộp là nửa diện tích bề mặt của hình cầu. Diện tích bề mặt của hình cầu được tính bằng công thức: S_cau = 2πr^2.
Thay giá trị vào, ta có: S_cau = 2π(5cm)^2 = 50π cm^2.
Diện tích mặt cắt của nắp hộp là một nửa diện tích bề mặt của hình cầu, vậy diện tích mặt cắt của nắp hộp là: S_nap = 0.5(50π) = 25π cm^2.

Tổng diện tích cần sơn là diện tích toàn bộ mặt ngoài của hộp:
S_total = S_tru + S_nap = 100π + 25π = 125π cm^2.

Vậy diện tích cần sơn là 125π cm^2.