Tam giác ABC nhọn AD, BE, CF là 3 đường cao cắt nhau tại H

Để chứng minh D, F, E, O thuộc một đường tròn, ta sẽ chứng minh tứ giác DHFO là tứ giác nội tiếp.

Ta có:
- Gọi M là trung điểm của AC. Khi đó, ta có AM = MC và OM = MO (O là trung điểm của BC), nên tam giác AMO và CMO là tam giác đều.
- Vì tam giác AMO và CMO là tam giác đều, nên ta có ∠AMO = ∠CMO = 60°.
- Vì tam giác ABC là tam giác nhọn, nên ∠BAC < 90°. Khi đó, ta có ∠BAM = 90° - ∠BAC/2 = 90° - ∠BMC/2 = ∠CMO.
- Vậy ta có ∠AMO = ∠BAM = ∠BHM (vì BH là đường cao của tam giác ABC).
- Tương tự, ta có ∠BHO = ∠ACM.
- Vì ∠AMO = ∠BHM và ∠BHO = ∠ACM, nên tứ giác DHFO là tứ giác nội tiếp.

Vậy ta đã chứng minh được rằng D, F, E, O thuộc một đường tròn (đường tròn Euler).