Để chứng minh rằng tích của ba số nguyên liên tiếp trong đó số đứng giữa của chúng là lập phương của một số tự nhiên chia hết cho 504, ta sẽ thực hiện các bước sau:

Giả sử số nguyên giữa là \( n^3 \) với \( n \) là một số tự nhiên. Khi đó, ba số nguyên liên tiếp là \( (n^3 - 1), n^3, (n^3 + 1) \).

Ta cần chứng minh rằng tích của ba số này chia hết cho 504. Ta có:
\[ 504 = 2^3 \times 3^2 \times 7 \]

Do đó, ta cần chứng minh rằng tích của ba số liên tiếp này chia hết cho \( 2^3 \), \( 3^2 \), và \( 7 \).

1. **Chứng minh chia hết cho \( 2^3 \):**

Trong ba số liên tiếp, chắc chắn có ít nhất một số chia hết cho 2. Hơn nữa, trong ba số liên tiếp, sẽ có ít nhất một số chia hết cho 4 (vì cứ mỗi 4 số liên tiếp sẽ có một số chia hết cho 4).

Vì vậy, tích của ba số liên tiếp chắc chắn chia hết cho \( 2^3 = 8 \).

2. **Chứng minh chia hết cho \( 3^2 \):**

Trong ba số liên tiếp, chắc chắn có ít nhất một số chia hết cho 3. Hơn nữa, trong ba số liên tiếp, sẽ có ít nhất một số chia hết cho 9 (vì cứ mỗi 9 số liên tiếp sẽ có một số chia hết cho 9).

Vì vậy, tích của ba số liên tiếp chắc chắn chia hết cho \( 3^2 = 9 \).

3. **Chứng minh chia hết cho 7:**

Trong ba số liên tiếp, chắc chắn có ít nhất một số chia hết cho 7 (vì cứ mỗi 7 số liên tiếp sẽ có một số chia hết cho 7).

Vì vậy, tích của ba số liên tiếp chắc chắn chia hết cho 7.

Kết hợp cả ba điều kiện trên, ta có tích của ba số liên tiếp \( (n^3 - 1), n^3, (n^3 + 1) \) chia hết cho \( 2^3 \times 3^2 \times 7 = 504 \).

Do đó, ta đã chứng minh rằng tích của ba số nguyên liên tiếp trong đó số đứng giữa của chúng là lập phương của một số tự nhiên chia hết cho 504.