Để tìm tất cả giá trị của tham số \( m \) để tập hợp \( B \) là tập con của tập hợp \( A \), ta cần đảm bảo rằng mọi phần tử của \( B \) đều nằm trong \( A \).

Tập hợp \( A \) là đoạn \([1, 3]\), nghĩa là \( A = \{ x \mid 1 \le x \le 3 \} \).

Tập hợp \( B \) là đoạn \([m, m+1]\), nghĩa là \( B = \{ x \mid m \le x \le m+1 \} \).

Để \( B \subseteq A \), cần thỏa mãn hai điều kiện sau:
1. Điểm đầu của \( B \) (tức là \( m \)) phải lớn hơn hoặc bằng điểm đầu của \( A \) (tức là 1).
2. Điểm cuối của \( B \) (tức là \( m+1 \)) phải nhỏ hơn hoặc bằng điểm cuối của \( A \) (tức là 3).

Do đó, ta có hệ bất phương trình:
\[
1 \le m \le 3 - 1
\]

Giải hệ bất phương trình này, ta được:
\[
1 \le m \le 2
\]

Vậy, tất cả các giá trị của tham số \( m \) để \( B \subseteq A \) là \( m \) thuộc đoạn \([1, 2]\).