Để giải hệ phương trình sau:

\[ \begin{cases}
x + \frac{x + 3y}{x^2 + y^2} = 3 \\
y - \frac{y - 3x}{x^2 + y^2} = 0
\end{cases} \]

Chúng ta sẽ giải từng phương trình một.

### Phương trình thứ nhất:
\[ x + \frac{x + 3y}{x^2 + y^2} = 3 \]

Chuyển vế:
\[ \frac{x + 3y}{x^2 + y^2} = 3 - x \]

Nhân cả hai vế với \( x^2 + y^2 \):
\[ x + 3y = (3 - x)(x^2 + y^2) \]

Mở rộng vế phải:
\[ x + 3y = 3x^2 + 3y^2 - x^3 - xy^2 \]

### Phương trình thứ hai:
\[ y - \frac{y - 3x}{x^2 + y^2} = 0 \]

Chuyển vế:
\[ \frac{y - 3x}{x^2 + y^2} = y \]

Nhân cả hai vế với \( x^2 + y^2 \):
\[ y - 3x = y(x^2 + y^2) \]

Chuyển vế:
\[ y - 3x = yx^2 + y^3 \]

### Giải hệ phương trình:

Chúng ta có hai phương trình:
1. \( x + 3y = 3x^2 + 3y^2 - x^3 - xy^2 \)
2. \( y - 3x = yx^2 + y^3 \)

#### Phương trình thứ hai:
\[ y - 3x = yx^2 + y^3 \]

Nếu \( y = 0 \):
\[ 0 - 3x = 0 \]
\[ x = 0 \]

Vậy, một nghiệm của hệ phương trình là \( (x, y) = (0, 0) \).

#### Kiểm tra nghiệm khác:

Nếu \( y \neq 0 \), chia cả hai vế của phương trình thứ hai cho \( y \):
\[ 1 - \frac{3x}{y} = x^2 + y^2 \]

Đặt \( k = \frac{x}{y} \):
\[ 1 - 3k = k^2 + 1 \]
\[ -3k = k^2 \]
\[ k^2 + 3k = 0 \]
\[ k(k + 3) = 0 \]

Vậy \( k = 0 \) hoặc \( k = -3 \).

1. Nếu \( k = 0 \):
\[ \frac{x}{y} = 0 \]
\[ x = 0 \]

2. Nếu \( k = -3 \):
\[ \frac{x}{y} = -3 \]
\[ x = -3y \]

Thay \( x = -3y \) vào phương trình thứ nhất:
\[ -3y + \frac{-3y + 3y}{(-3y)^2 + y^2} = 3 \]
\[ -3y + \frac{0}{9y^2 + y^2} = 3 \]
\[ -3y = 3 \]
\[ y = -1 \]
\[ x = -3(-1) = 3 \]

Vậy nghiệm thứ hai của hệ phương trình là \( (x, y) = (3, -1) \).

### Kết luận:
Hệ phương trình có hai nghiệm:
\[ (x, y) = (0, 0) \]
\[ (x, y) = (3, -1) \]