Để chứng minh công thức diện tích của tứ giác nội tiếp ABCD có các cạnh là \(a, b, c, d\) là \(S = \sqrt{(P-a)(P-b)(P-c)(P-d)}\) với \(2P = a + b + c + d\), ta sử dụng công thức Brahmagupta.

### Công thức Brahmagupta
Công thức Brahmagupta cho diện tích của một tứ giác nội tiếp là:
\[ S = \sqrt{(P-a)(P-b)(P-c)(P-d)} \]
trong đó \(P\) là nửa chu vi của tứ giác, tức là:
\[ P = \frac{a + b + c + d}{2} \]

### Chứng minh
1. **Định nghĩa nửa chu vi:**
\[ P = \frac{a + b + c + d}{2} \]

2. **Diện tích tứ giác nội tiếp:**
Theo công thức Brahmagupta, diện tích \(S\) của tứ giác nội tiếp được tính bằng:
\[ S = \sqrt{(P-a)(P-b)(P-c)(P-d)} \]

3. **Thay \(P\) vào công thức:**
Ta có \(2P = a + b + c + d\), do đó:
\[ P = \frac{a + b + c + d}{2} \]

4. **Áp dụng vào công thức Brahmagupta:**
\[ S = \sqrt{\left(\frac{a + b + c + d}{2} - a\right) \left(\frac{a + b + c + d}{2} - b\right) \left(\frac{a + b + c + d}{2} - c\right) \left(\frac{a + b + c + d}{2} - d\right)} \]

5. **Đơn giản hóa các biểu thức trong căn:**
\[
\frac{a + b + c + d}{2} - a = \frac{b + c + d - a}{2}
\]
\[
\frac{a + b + c + d}{2} - b = \frac{a + c + d - b}{2}
\]
\[
\frac{a + b + c + d}{2} - c = \frac{a + b + d - c}{2}
\]
\[
\frac{a + b + c + d}{2} - d = \frac{a + b + c - d}{2}
\]

6. **Kết quả cuối cùng:**
\[
S = \sqrt{\left(\frac{b + c + d - a}{2}\right) \left(\frac{a + c + d - b}{2}\right) \left(\frac{a + b + d - c}{2}\right) \left(\frac{a + b + c - d}{2}\right)}
\]

Điều này đúng với công thức Brahmagupta, do đó ta đã chứng minh rằng:
\[
S = \sqrt{(P-a)(P-b)(P-c)(P-d)}
\]
với \(P = \frac{a + b + c + d}{2}\).

Như vậy, ta đã chứng minh được công thức diện tích của tứ giác nội tiếp ABCD.