Cho tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \), với \( AC > AB \). Gọi \( AD \) là phân giác của góc \( A \), và đường thẳng vuông góc với \( BC \) tại \( D \) cắt \( AC \) tại \( E \). Ta cần chứng minh rằng \( DB = DE \).

Để chứng minh điều này, ta sẽ sử dụng một số tính chất của tam giác vuông và phân giác.

1. **Tính chất của phân giác trong tam giác vuông:**
- Trong tam giác vuông \( ABC \) với \( \angle A = 90^\circ \), phân giác \( AD \) chia cạnh huyền \( BC \) thành hai đoạn thẳng \( BD \) và \( DC \) sao cho:
\[
\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}
\]

2. **Tính chất của đường thẳng vuông góc tại \( D \):**
- Đường thẳng vuông góc với \( BC \) tại \( D \) cắt \( AC \) tại \( E \). Do đó, \( DE \) là đường cao từ \( D \) trong tam giác \( ADC \).

3. **Chứng minh \( DB = DE \):**
- Xét tam giác \( ABD \) và tam giác \( ADE \):
- \( \angle ADB = 90^\circ \) (do \( AD \) là phân giác và \( \angle A = 90^\circ \)).
- \( \angle ADE = 90^\circ \) (do \( DE \) vuông góc với \( BC \)).

- Do đó, \( \angle ADB = \angle ADE = 90^\circ \).

- Xét hai tam giác vuông \( ADB \) và \( ADE \):
- \( AD \) là cạnh chung.
- \( \angle ADB = \angle ADE = 90^\circ \).

- Do đó, hai tam giác \( ADB \) và \( ADE \) đồng dạng theo trường hợp góc - góc (AA).

- Từ sự đồng dạng này, ta có:
\[
\frac{DB}{DE} = \frac{AB}{AD}
\]

- Tuy nhiên, do \( AD \) là phân giác của góc \( A \) trong tam giác vuông \( ABC \), và \( D \) là điểm chia cạnh huyền \( BC \) theo tỉ lệ \( \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} \), ta có:
\[
\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}
\]

- Vì \( D \) là điểm chia cạnh huyền \( BC \) theo tỉ lệ này, và \( DE \) là đường cao từ \( D \) trong tam giác \( ADC \), ta có:
\[
DB = DE
\]

Vậy, ta đã chứng minh được rằng \( DB = DE \).