Để tìm nghiệm nguyên của phương trình \(2xy - x - y = 1\), ta có thể sử dụng phương pháp biến đổi để đưa phương trình về dạng dễ giải hơn.

Bắt đầu từ phương trình ban đầu:
\[ 2xy - x - y = 1 \]

Thêm và bớt 1 vào vế trái:
\[ 2xy - x - y + 1 - 1 = 1 \]
\[ 2xy - x - y + 1 = 2 \]

Ta có thể nhóm lại như sau:
\[ (2xy - x - y + 1) = 2 \]
\[ (2xy - x - y + 1) = (2x - 1)(2y - 1) \]

Đặt \(a = 2x - 1\) và \(b = 2y - 1\), ta có:
\[ ab = 2 \]

Bây giờ, ta cần tìm các cặp số nguyên \((a, b)\) sao cho \(ab = 2\). Các cặp số nguyên thỏa mãn là:
\[ (a, b) = (1, 2), (2, 1), (-1, -2), (-2, -1) \]

Từ các cặp số \((a, b)\) này, ta sẽ tìm lại \(x\) và \(y\) bằng cách giải hệ phương trình:
\[ a = 2x - 1 \]
\[ b = 2y - 1 \]

1. Với \((a, b) = (1, 2)\):
\[ 1 = 2x - 1 \Rightarrow 2x = 2 \Rightarrow x = 1 \]
\[ 2 = 2y - 1 \Rightarrow 2y = 3 \Rightarrow y = \frac{3}{2} \]
(Không phải số nguyên)

2. Với \((a, b) = (2, 1)\):
\[ 2 = 2x - 1 \Rightarrow 2x = 3 \Rightarrow x = \frac{3}{2} \]
\[ 1 = 2y - 1 \Rightarrow 2y = 2 \Rightarrow y = 1 \]
(Không phải số nguyên)

3. Với \((a, b) = (-1, -2)\):
\[ -1 = 2x - 1 \Rightarrow 2x = 0 \Rightarrow x = 0 \]
\[ -2 = 2y - 1 \Rightarrow 2y = -1 \Rightarrow y = -\frac{1}{2} \]
(Không phải số nguyên)

4. Với \((a, b) = (-2, -1)\):
\[ -2 = 2x - 1 \Rightarrow 2x = -1 \Rightarrow x = -\frac{1}{2} \]
\[ -1 = 2y - 1 \Rightarrow 2y = 0 \Rightarrow y = 0 \]
(Không phải số nguyên)

Như vậy, không có nghiệm nguyên nào thỏa mãn phương trình \(2xy - x - y = 1\).