Để giải hệ phương trình sau:

\[
\begin{cases}
xy + x + y = x^2 - 2y^2 \\
x^2 - y^2 - 3x + 2y - 10 = 0
\end{cases}
\]

Ta sẽ giải từng phương trình một và tìm ra các giá trị của \(x\) và \(y\) thỏa mãn cả hai phương trình.

**Bước 1: Giải phương trình thứ hai**

Phương trình thứ hai là:
\[
x^2 - y^2 - 3x + 2y - 10 = 0
\]

Ta có thể viết lại phương trình này dưới dạng:
\[
x^2 - y^2 - 3x + 2y = 10
\]

**Bước 2: Giải phương trình thứ nhất**

Phương trình thứ nhất là:
\[
xy + x + y = x^2 - 2y^2
\]

Ta có thể viết lại phương trình này dưới dạng:
\[
xy + x + y - x^2 + 2y^2 = 0
\]

**Bước 3: Tìm nghiệm của hệ phương trình**

Để giải hệ phương trình này, ta sẽ thử tìm nghiệm bằng cách thay thế các giá trị của \(x\) và \(y\) vào cả hai phương trình.

Giả sử \(x = 2\) và \(y = -1\):

Thay vào phương trình thứ hai:
\[
2^2 - (-1)^2 - 3(2) + 2(-1) - 10 = 4 - 1 - 6 - 2 - 10 = -15 \neq 0
\]

Giả sử \(x = 3\) và \(y = 2\):

Thay vào phương trình thứ hai:
\[
3^2 - 2^2 - 3(3) + 2(2) - 10 = 9 - 4 - 9 + 4 - 10 = -10 \neq 0
\]

Giả sử \(x = 5\) và \(y = 1\):

Thay vào phương trình thứ hai:
\[
5^2 - 1^2 - 3(5) + 2(1) - 10 = 25 - 1 - 15 + 2 - 10 = 1 \neq 0
\]

Giả sử \(x = 4\) và \(y = 2\):

Thay vào phương trình thứ hai:
\[
4^2 - 2^2 - 3(4) + 2(2) - 10 = 16 - 4 - 12 + 4 - 10 = -6 \neq 0
\]

Giả sử \(x = 5\) và \(y = 3\):

Thay vào phương trình thứ hai:
\[
5^2 - 3^2 - 3(5) + 2(3) - 10 = 25 - 9 - 15 + 6 - 10 = -3 \neq 0
\]

Giả sử \(x = 6\) và \(y = 4\):

Thay vào phương trình thứ hai:
\[
6^2 - 4^2 - 3(6) + 2(4) - 10 = 36 - 16 - 18 + 8 - 10 = 0
\]

Vậy \(x = 6\) và \(y = 4\) là một nghiệm của phương trình thứ hai.

Thay \(x = 6\) và \(y = 4\) vào phương trình thứ nhất:
\[
6 \cdot 4 + 6 + 4 = 6^2 - 2 \cdot 4^2
\]
\[
24 + 6 + 4 = 36 - 32
\]
\[
34 = 4 \neq 0
\]

Vậy \(x = 6\) và \(y = 4\) không thỏa mãn phương trình thứ nhất.

Do đó, ta cần tiếp tục tìm các nghiệm khác hoặc sử dụng phương pháp khác để giải hệ phương trình này. Một cách tiếp cận khác là sử dụng phương pháp đại số hoặc phương pháp đồ thị để tìm nghiệm của hệ phương trình.