Chúng ta sẽ giải từng câu một cách chi tiết:

### Câu 4
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = (\sin x + \cos x) - \sin 2x + 3 \) trên đoạn \([-2024\pi ; 2024\pi]\).

Đầu tiên, ta biến đổi hàm số:
\[ y = \sin x + \cos x - \sin 2x + 3 \]
\[ \sin 2x = 2 \sin x \cos x \]
\[ y = \sin x + \cos x - 2 \sin x \cos x + 3 \]

Đặt \( t = \sin x + \cos x \), ta có:
\[ t^2 = \sin^2 x + \cos^2 x + 2 \sin x \cos x = 1 + 2 \sin x \cos x \]
\[ 2 \sin x \cos x = t^2 - 1 \]
\[ y = t - (t^2 - 1) + 3 = -t^2 + t + 4 \]

Hàm số \( y = -t^2 + t + 4 \) là một parabol có hệ số \( a = -1 \) (hệ số của \( t^2 \)) nên có đỉnh là điểm cực đại. Giá trị nhỏ nhất của hàm số này sẽ nằm ở biên của đoạn giá trị của \( t \).

Giá trị của \( t = \sin x + \cos x \) nằm trong đoạn \([- \sqrt{2}, \sqrt{2}]\).

Xét tại \( t = -\sqrt{2} \):
\[ y = -(-\sqrt{2})^2 + (-\sqrt{2}) + 4 = -2 - \sqrt{2} + 4 = 2 - \sqrt{2} \]

Xét tại \( t = \sqrt{2} \):
\[ y = -(\sqrt{2})^2 + \sqrt{2} + 4 = -2 + \sqrt{2} + 4 = 2 + \sqrt{2} \]

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là \( 2 - \sqrt{2} \). Tuy nhiên, trong các đáp án không có giá trị này, có thể có sai sót trong đề bài hoặc đáp án. Nhưng nếu xét các đáp án, giá trị nhỏ nhất gần đúng nhất là \( -2 \).

### Câu 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = e^x \) trên đoạn \([0; 2]\).

Hàm số \( y = e^x \) là hàm số đơn điệu tăng trên đoạn \([0; 2]\), do đó giá trị nhỏ nhất tại \( x = 0 \):
\[ y = e^0 = 1 \]

Vậy giá trị nhỏ nhất là \( 1 \).

### Câu 2
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( y = e^x + 2 \) trên đoạn \([1; 4]\).

Hàm số \( y = e^x + 2 \) là hàm số đơn điệu tăng trên đoạn \([1; 4]\), do đó giá trị lớn nhất tại \( x = 4 \):
\[ y = e^4 + 2 \]

Vậy giá trị lớn nhất là \( e^4 + 2 \). Tuy nhiên, trong các đáp án không có giá trị này, có thể có sai sót trong đề bài hoặc đáp án. Nhưng nếu xét các đáp án, giá trị lớn nhất gần đúng nhất là \( e^3 \).

### Câu 3
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( f(x) = e^x + 2x \) trên đoạn \([0; 2]\).

Xét đạo hàm của hàm số:
\[ f'(x) = e^x + 2 \]

Đạo hàm luôn dương trên đoạn \([0; 2]\), do đó hàm số đơn điệu tăng trên đoạn này. Giá trị lớn nhất tại \( x = 2 \):
\[ f(2) = e^2 + 4 \]

Vậy giá trị lớn nhất là \( e^2 + 4 \). Tuy nhiên, trong các đáp án không có giá trị này, có thể có sai sót trong đề bài hoặc đáp án. Nhưng nếu xét các đáp án, giá trị lớn nhất gần đúng nhất là \( e^3 \).

### Câu 4
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) = xe^x \) trên đoạn \([1; 4]\).

Xét đạo hàm của hàm số:
\[ f'(x) = e^x (x + 1) \]

Đạo hàm luôn dương trên đoạn \([1; 4]\), do đó hàm số đơn điệu tăng trên đoạn này. Giá trị nhỏ nhất tại \( x = 1 \):
\[ f(1) = 1e^1 = e \]

Vậy giá trị nhỏ nhất là \( e \).

### Câu 5
Tìm tích giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số \( f(x) = (x^2 - 5x + 7)e^x \) trên đoạn \([0; 3]\).

Xét đạo hàm của hàm số:
\[ f'(x) = (2x - 5)e^x + (x^2 - 5x + 7)e^x \]
\[ f'(x) = e^x (2x - 5 + x^2 - 5x + 7) \]
\[ f'(x) = e^x (x^2 - 3x + 2) \]
\[ f'(x) = e^x (x - 1)(x - 2) \]

Giải phương trình \( f'(x) = 0 \):
\[ (x - 1)(x - 2) = 0 \]
\[ x = 1 \text{ hoặc } x = 2 \]

Xét các giá trị tại \( x = 0, 1, 2, 3 \):
\[ f(0) = 7e^0 = 7 \]
\[ f(1) = (1 - 5 + 7)e^1 = 3e \]
\[ f(2) = (4 - 10 + 7)e^2 = e^2 \]
\[ f(3) = (9 - 15 + 7)e^3 = e^3 \]

Giá trị nhỏ nhất là \( e^2 \) và giá trị lớn nhất là \( e^3 \). Tích của chúng là:
\[ e^2 \cdot e^3 = e^5 \]

Vậy đáp án là \( e^5 \). Tuy nhiên, trong các đáp án không có giá trị này, có thể có sai sót trong đề bài hoặc đáp án. Nhưng nếu xét các đáp án, giá trị gần đúng nhất là \( 21e \).

Hy vọng các giải thích trên sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải các bài toán này.