Để xác định vị trí tương đối của các cặp đường thẳng, ta cần xem xét hệ số góc và vị trí của chúng.

a) \( y = x \) và \( x + y = 4 \)

- Đường thẳng \( y = x \) có hệ số góc là 1.
- Đường thẳng \( x + y = 4 \) có thể viết lại thành \( y = -x + 4 \), có hệ số góc là -1.

Vì hệ số góc của hai đường thẳng này khác nhau (1 và -1), nên chúng cắt nhau tại một điểm.

b) \( x + y - 1 = 0 \) và \( y = 1 - x \)

- Đường thẳng \( x + y - 1 = 0 \) có thể viết lại thành \( y = -x + 1 \), có hệ số góc là -1.
- Đường thẳng \( y = 1 - x \) có hệ số góc là -1.

Vì hai đường thẳng này có cùng hệ số góc (-1) và cùng giao điểm (cùng đi qua điểm (0,1)), nên chúng trùng nhau.

c) \( x + 2y = 4 \) và \( -x - \frac{1}{2}y = 1 \)

- Đường thẳng \( x + 2y = 4 \) có thể viết lại thành \( y = -\frac{1}{2}x + 2 \), có hệ số góc là -1/2.
- Đường thẳng \( -x - \frac{1}{2}y = 1 \) có thể viết lại thành \( y = -2x - 2 \), có hệ số góc là -2.

Vì hệ số góc của hai đường thẳng này khác nhau (-1/2 và -2), nên chúng cắt nhau tại một điểm.

Tóm lại:
a) Hai đường thẳng cắt nhau.
b) Hai đường thẳng trùng nhau.
c) Hai đường thẳng cắt nhau.