Để tìm các cặp số \( x \) và \( y \) thuộc tập hợp số nguyên \( \mathbb{Z} \) thỏa mãn điều kiện:

\[ -\frac{1}{3} < \frac{x}{36} < \frac{y}{18} < -\frac{1}{4} \]

Chúng ta sẽ giải từng bất đẳng thức một.

1. Bất đẳng thức đầu tiên:

\[ -\frac{1}{3} < \frac{x}{36} \]

Nhân cả hai vế với 36:

\[ -12 < x \]

2. Bất đẳng thức thứ hai:

\[ \frac{y}{18} < -\frac{1}{4} \]

Nhân cả hai vế với 18:

\[ y < -4.5 \]

3. Bất đẳng thức giữa:

\[ \frac{x}{36} < \frac{y}{18} \]

Nhân cả hai vế với 36:

\[ x < 2y \]

Tóm lại, chúng ta có hệ bất đẳng thức:

\[ -12 < x < 2y \]
\[ y < -4.5 \]

Vì \( x \) và \( y \) là các số nguyên, ta có thể viết lại điều kiện \( y < -4.5 \) thành \( y \leq -5 \).

Bây giờ, ta sẽ tìm các cặp \( (x, y) \) thỏa mãn các điều kiện trên.

- Với \( y = -5 \):

\[ -12 < x < 2(-5) \]
\[ -12 < x < -10 \]

Các giá trị nguyên của \( x \) là: \( -11 \).

- Với \( y = -6 \):

\[ -12 < x < 2(-6) \]
\[ -12 < x < -12 \]

Không có giá trị nguyên của \( x \) thỏa mãn.

- Với \( y = -7 \):

\[ -12 < x < 2(-7) \]
\[ -12 < x < -14 \]

Không có giá trị nguyên của \( x \) thỏa mãn.

Vì vậy, cặp số nguyên duy nhất thỏa mãn điều kiện là:

\[ (x, y) = (-11, -5) \]