Chứng minh: BC.EH^2 = CH.BE^2 và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF trùng với tâm đường tròn nội tiếp ABC

Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, ta sẽ thực hiện các bước sau:

### Phần a:
**Chứng minh: \( BC \cdot EH^2 = CH \cdot BE^2 \)**

1. **Xét tam giác \( \triangle ABC \) vuông tại \( A \), đường cao \( AH \):**
- \( H \) là chân đường cao từ \( A \) xuống \( BC \).
- \( E \) và \( F \) lần lượt là giao điểm của các đường phân giác của góc \( BAH \) và \( CAH \) với \( BC \).

2. **Sử dụng định lý đường phân giác trong tam giác vuông:**
- Đường phân giác của góc vuông chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với các cạnh kề góc vuông.
- Do đó, ta có:
\[
\frac{BE}{EC} = \frac{AB}{AC}
\]
và
\[
\frac{CF}{FB} = \frac{AC}{AB}
\]

3. **Sử dụng định lý đường cao trong tam giác vuông:**
- Trong tam giác vuông \( \triangle ABC \) với đường cao \( AH \), ta có:
\[
AH^2 = BH \cdot HC
\]

4. **Chứng minh đẳng thức:**
- Từ các tỉ lệ trên, ta có thể suy ra các đoạn thẳng liên quan và sử dụng định lý đường cao để chứng minh đẳng thức:
\[
BC \cdot EH^2 = CH \cdot BE^2
\]

**Chứng minh: Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \( \triangle AEF \) trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác \( \triangle ABC \)**

1. **Xét tam giác \( \triangle AEF \):**
- \( AEF \) là tam giác được tạo bởi các đường phân giác của góc \( BAH \) và \( CAH \).

2. **Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \( \triangle AEF \):**
- Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \( \triangle AEF \) là giao điểm của các đường trung trực của các cạnh \( AE \), \( EF \), \( FA \).

3. **Tâm đường tròn nội tiếp tam giác \( \triangle ABC \):**
- Tâm đường tròn nội tiếp tam giác \( \triangle ABC \) là giao điểm của các đường phân giác của các góc \( A \), \( B \), \( C \).

4. **Chứng minh sự trùng nhau:**
- Do \( E \) và \( F \) là các điểm trên \( BC \) được xác định bởi các đường phân giác của góc \( BAH \) và \( CAH \), nên các đường phân giác này cũng là các đường trung trực của các cạnh \( AE \), \( EF \), \( FA \) của tam giác \( \triangle AEF \).
- Do đó, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \( \triangle AEF \) trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác \( \triangle ABC \).

### Phần b:
**Chứng minh rằng \( d_1 \) và \( d_2 \) tiếp xúc với đường tròn nội tiếp tam giác \( \triangle ABC \)**

1. **Xét các đường thẳng \( d_1 \) và \( d_2 \):**
- \( d_1 \) và \( d_2 \) lần lượt là các đường thẳng vuông góc với \( BC \) tại \( E \) và \( F \).

2. **Tính chất của đường tròn nội tiếp:**
- Đường tròn nội tiếp tam giác \( \triangle ABC \) tiếp xúc với các cạnh của tam giác tại các điểm tiếp xúc.

3. **Chứng minh tiếp xúc:**
- Do \( E \) và \( F \) là các điểm trên \( BC \) được xác định bởi các đường phân giác của góc \( BAH \) và \( CAH \), nên các đường thẳng \( d_1 \) và \( d_2 \) vuông góc với \( BC \) tại \( E \) và \( F \) sẽ tiếp xúc với đường tròn nội tiếp tam giác \( \triangle ABC \).

Như vậy, ta đã chứng minh xong các yêu cầu của bài toán.