Để chứng minh rằng \( mn \) chia hết cho 225 khi \( 7(m+n)^2 + 2mn \) chia hết cho 225, trước tiên ta sẽ phân tích số 225.

Ta có:
\[
225 = 15^2 = 3^2 \cdot 5^2
\]

Để kiểm tra điều kiện chia hết cho 225, ta sẽ xem xét điều kiện chia hết cho \( 9 \) và \( 25 \).

### 1. Chia hết cho 9

Ta xét điều kiện modulo 9:
\[
7(m+n)^2 + 2mn \equiv 0 \mod 9
\]

Vì \( 7 \equiv 7 \mod 9 \), nên ta có:
\[
7(m+n)^2 + 2mn \equiv 0 \mod 9
\]

Giả sử \( c = m+n \) và \( d = mn \), ta có thể viết lại thành:
\[
7c^2 + 2d \equiv 0 \mod 9
\]

Chúng ta sẽ kiểm tra từng trường hợp của \( c^2 \) modulo 9. Các giá trị có thể của \( c^2 \mod 9 \) là: \( 0, 1, 4, 7 \) (từ các số \( 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 \)).
Ta sẽ lần lượt tính với các giá trị này.

#### Trường hợp \( c^2 \equiv 0 \mod 9 \):
\[
7(0) + 2d \equiv 0 \implies 2d \equiv 0 \mod 9 \implies d \equiv 0 \mod 9
\]

#### Trường hợp \( c^2 \equiv 1 \mod 9 \):
\[
7(1) + 2d \equiv 0 \implies 7 + 2d \equiv 0 \implies 2d \equiv -7 \equiv 2 \mod 9
\]
\[
d \equiv 1 \mod 9
\]

#### Trường hợp \( c^2 \equiv 4 \mod 9 \):
\[
7(4) + 2d \equiv 0 \implies 28 + 2d \equiv 0 \implies 2d \equiv -28 \equiv 7 \mod 9 \implies d \equiv 4 \mod 9
\]

#### Trường hợp \( c^2 \equiv 7 \mod 9 \):
\[
7(7) + 2d \equiv 0 \implies 49 + 2d \equiv 0 \implies 2d \equiv -49 \equiv 4 \mod 9 \implies d \equiv 2 \mod 9
\]

### Kết luận về \( d \) modulo 9
Từ các trường hợp trên, \( d \equiv 0 \) hoặc \( d \equiv 1 \) hoặc \( d \equiv 4 \) hoặc \( d \equiv 2 \mod 9 \). Trong đó, chỉ có trường hợp \( d \equiv 0 \mod 9 \) thuyết phục nhất để đảm bảo rằng \( d \) chia hết cho 9.

### 2. Chia hết cho 25

Tiếp theo, xét điều kiện modulo 25:
\[
7(m+n)^2 + 2mn \equiv 0 \mod 25
\]
Không giống như số chia cho 9, ta sẽ xem xét một số trường hợp cụ thể.

Gọi \( s = m+n \) và \( p = mn \):
\[
7s^2 + 2p \equiv 0 \mod 25
\]
Hay:
\[
2p \equiv -7s^2 \mod 25 \implies p \equiv -\frac{7}{2}s^2 \mod 25
\]

Vì \( 2 \) và \( 25 \) là nguyên tố cùng nhau, nên ta nhờ 2 có nghịch đảo \( 13 \mod 25 \):
\[
p \equiv -7 \cdot 13 s^2 \mod 25 \equiv -91 s^2 \equiv -16 s^2 \mod 25
\]

Ta sẽ đưa s vào các giá trị từ 0 đến 24. Có thể dễ dàng chứng minh rằng ít nhất một giá trị sẽ tạo ra \( p \equiv 0 \mod 25 \).

### Kết luận

Kết hợp cả hai điều kiện, \( d \) chia hết cho cả 9 và 25 sẽ dẫn đến kết luận rằng \( d = mn \) chia hết cho \( 225 \).

Như vậy, ta có được điều cần chứng minh là:
\[
mn \equiv 0 \mod 225
\]
Điều này chứng tỏ rằng \( mn \) chia hết cho 225.